- ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ ПРИНЦИП
пусть области Dи Gлежат соответственно в плоскостях
и
и имеют каждая не менее чем по три граничные точки, пусть
- функция, регулярная в Dи принимающая значения в G, и пусть
и
- линейные элементы в гиперболич. метрике областей D и G в точках соответственно
и
; тогда справедливо неравенство
Равенство в какой-либо точке
имеет место только в том случае, если
в D, где функция
конформно отображает область Dна круг
, а функция
конформно отображает круг Ена область G. Г. м. п. обобщает Шварца лемму на многосвязные области, в к-рых может быть определена гиперболич. метрика.
В формулировке Г. м. п. предположение регулярности функции f(z) в Dможет быть заменено более общим предположением: f(z) - аналитич. функция, определенная в Dкаким-либо своим элементом и продол-жимая в D по любому пути.
Этот же принцип можно сформулировать также относительно поведения гиперболич. длины кривых, гиперболич. расстояния или гиперболич. площади при указанном отображении. Именно, если L- спрямляемая кривая в D, то (в обозначениях статьи Гиперболическая метрика)
Если
и
- две точки области D, то Если В - область
в D, то
В каждом из этих неравенств равенство достигается только в указанном выше случае.
Приведенный выше результат относительно гиперболич. расстояния показывает, что при отображении
образ гиперболич. круга с центром в точке
содержится в гиперболич. круге с центром в точке
того же гиперболпч. радиуса.
Этот результат распространяет на случай многосвязных областей следующий факт теории конформного отображения (инвариантная форма леммы Шварца): при отображении круга
регулярной в нем
функцией в
, гиперболич. расстояние между образами точек
и
круга Ене превосходит гиперболич. расстояния между самими точками
и
и равно этому расстоянию только в случае дробно-линейного преобразования круга Ена себя.
Г. м. п. следующим образом связан с Линделёфа принципом. Если области Dи G обладают функциями Грина и односвязны, то оба принципа совпадают. Если же Dодносвязна, a Gмногосвязна, то Г. м. п. дает более точную оценку области, в к-рой содержится образ гиперболич. круга в D, определяемого неравенством
при отображении
(где через
обозначена функция Грина области Dс лога-рифмич. полюсом в точке
). Кроме того, Г. м. п. применим и тогда, когда нельзя говорить о принципе Линделёфа, напр., в случае области, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, но не имеющей функции Грина. Г. В. Кузьмина.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.