КАСКАД

в теории динамических систем, динамическая система с дискретным временем,- динамическая система, определяемая действием аддитивной группы целых чисел Z(или аддитивной полугруппы натуральных чисел N) на нек-ром фазовом пространстве W. Согласно общему определению действия группы (полугруппы), это означает, что каждому целому (натуральному) числу псопоставлено нек-рое преобразование S_n: WW, причем

для всех Поэтому все преобразования S_n получаются из одного преобразования S=S₁ посредством итерирования и (если n<0) обращения:

S_n=(S)ⁿ при п>0, S_n=(S^-1)ⁿ при n<0.

Тем самым изучение К. по существу сводится к изучению свойств порождающего его преобразования S, и в этом смысле К. являются простейшими динамич. системами. Поэтому К. исследуются весьма интенсивно, хотя в приложениях чаще всего встречаются динамич. системы с непрерывным временем ( потоки). Принципиальная сторона дела для потоков и К. обычно одинакова, но случай К. несколько проще технически, и в то же время полученные для них результаты часто без особого труда удается перенести на потоки - иногда путем формальной редукции свойств потоков к свойствам К., но чаще путем нек-рого видоизменения доказательств.

Как и для любых динамич. систем, обычно фазовое пространство Wнаделено нек-рой структурой, и преобразования S_n ее сохраняют. Напр., Wможет быть гладким многообразием, топологич. пространством или пространством с мерой; соответственно говорят о непрерывном, гладком или измеримом К. (впрочем, в последнем случае определение обычно несколько видоизменяют, требуя, чтобы каждое S_n было определено почти всюду и чтобы при любых п, т равенство (*) имело место при почти всех w). Преобразование S, порождающее К., является в этих случаях диффеоморфизмом, гомеоморфизмом или автоморфизмом пространства с мерой (если речь идет о группе преобразований), либо гладким отображением, непрерывным отображением или эндоморфизмом пространства с мерой (если К. является полугруппой).