ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ПОДМНОГООБРАЗИЕ


ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ПОДМНОГООБРАЗИЕ

- замкнутое подмногообразие У алгебраич. многообразия Xопределенного над алгебраич. замкнутым полем, к-рое при помощи некоторого собственного бирационального морфизма f : может быть отображено на подмногообразие У меньшей размерности и при этом f :- изоморфизм. Морфизм f наз.

стягиванием подмногообразия У на Y'=f(Y);это понятие является частным случаем понятия модификации алгебраич. пространств [3]. В случае, когда X, Y, X' и Y' являются гладкими неприводимыми многообразиями, И. п. Yназ. исключительным подмногообразием 1-го рода. Если И. п. У имеет коразмерность 1 в X, то оно наз. также исключительным дивизором. Исключительный дивизор на алгебраич. поверхности наз. исключительной кривой.

Понятие И. п. естественным образом распространяется на схемы, комплексные аналитич. и алгебраич. пространства. Соответствующий морфизм при этом также наз. стягиванием; естественным образом определяется понятие И. п. 1-го рода. И. п. комплексного аналитич. ространства наз. также исключительным аналитич. множеством.

Характеризация И. п. внутри объемлющего многообразия - одна из основных задач бирациональной геометрии. Исторически первый пример такой характеризации - критерий Касте льнуово - Энрикеса: неприводимая полная кривая Y на гладкой поверхности Xтогда и только тогда является И. п. 1-го рода, когда она изоморфна проективной прямой Р 1 и индекс ее самопересечения (Y -Y )на Xравен -1 (см. [1], [9]). Этот критерий допускает обобщение на одномерные подсхемы двумерных регулярных схем (см. [6], [10]). Если - произвольная связная полная кривая c неприводимыми компонентами Yi на гладкой проективной поверхности X, то необходимое (но не достаточное) условие исключительноети кривой У состоит в отрицательной определенности матрицы (YiYj). (см. [2]). В случаях связной компактной комплексной кривой на гладкой комплексной поверхности и связной полной кривой на гладком двумерном алгебраич. пространстве аналогичное условие является необходимым и достаточным условием исключительности. Многомерное обобщение критерия Кастельнуово - Энрикеса для стягивания в точку имеет следующий вид [5]: неприводимое полное подмногообразие У в гладком алгебраич. многообразии Xтогда и только тогда является И. п. 1-го рода относительно стягивания в точку, когда выполняются следующие два условия: а) где r=dim X-1; б) нормальное расслоение NY/X к Y в X определяется дивизором -H, где Н- гиперплоскость в Р r. При этом X' проективно. Соответствующее стягивание f является моноидальным преобразованием с центром в точке f(Y) (см. [7], [8]).

В аналитич. случае найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы связное компактное комплексное подмногообразие У в комплексном многообразии Xбыло И. п. 1-го рода; соответствующее стягивание f необходимо является моноидальным преобразованием с центром в Y'=f(Y)(см. Исключительное аналитическое множество). Аналогичный критерий справедлив для алгебраич. пространств [3]. Для алгебраич. многообразий соответствующие условия необходимы, но не всегда достаточны.

При стягивании f: И. п. 1-го рода У в алгебраич. проективном многообразии Xна подмногообразие ненулевой размерности Y' в X' алгебраич. многообразие X' может уже не быть проективным. Более того, если алгебраич. многообразия Xи Y определены над полем комплексных чисел, то при аналитич. стягивании f И. п. 1-го рода Y не в точку многообразие X' в общем случае не является алгебраическим.

Если рассматривать вопрос о стягиваемости в точку И. п. (не обязательно 1-го рода), то для полного связного алгебраич. подпространства У гладкого алгебраич. пространства Xдостаточным (но не необходимым при dim Х>2 )условием исключительности является отрицательность нормального расслоения NY/X. Аналогичный факт имеет место для комплексных пространств. В случае алгебраич. пространств наиболее общий критерий исключительности утверждает, что в категории нётеровых алгебраич. пространств подпространство У в Xтогда и только тогда является И. п., когда формальное пополнение в вдоль является И. п. в категории формальных алгебраич. пространств [3]. Иными словами, стягивание алгебраич. подпространства возможно тогда и только тогда, когда возможно его соответствующее формальное стягивание.

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965, "Тр. Матем. ин-та АН СССР"; [2] Артин М., "Математика", 1965, т. 9, №3, с. 3-14; [3] Artin M., "Ann. math.", 1970, v. 91, Л"" 1, p. 88-135; [4] Грауэрт Г., в кн.: Комплексные пространства, М., 1965, с. 45 -104; [5] Коdairа К., "Ann. math", 1954, v. 60, p. 28 - 48; [6] Liehtenbaum S., "Amer. J. math.", 1968, v. 90, № 2, p. 380-405; [7] Nakanо S., "Publs Res. Inst. Math. Sci.", 1971, v. 6, № 3, p. 483-502; [8] Fujiki A., Nakanо S., там же, 1972, v. 7, № 3, p. 637-44; [9] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [10] его же, Lectures on minimal models and borational transformations of two dimensional schemes, Bombay, 1966.

В. А. Псковских.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ ПОДМНОГООБРАЗИЕ" в других словарях:

  • ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО — аналитич. множество Ав комплексном пространстве X, допускающем такое аналитич. отображение f : что f(A ) = y точка комплексного пространства Y, а f : аналитич. изоморфизм. Модификация f наз. стягиванием множества Ав точку у. Задача о… …   Математическая энциклопедия

  • НОРМАЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ — подмногообразия расслоение, состоящее из касательных векторов к объемлющему многообразию, нормальных к подмногообразию. Если X риманово многообразие, Y его (погруженное) подмногообразие, и касательные расслоения над Xи Y, то Н. р. подмногообразия …   Математическая энциклопедия

  • МОНОИДАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — раздутие, s процесс, специального вида бирациональный морфизм алгебраич. многообразий или биме роморфный морфизм аналитич. ространств. Пусть, напр., X алгебраич. многообразие (или произвольная схема), а замкнутое подмногообразие, задаваемое… …   Математическая энциклопедия

  • МОДИФИКАЦИЯ — аналитического пространства аналитическое отображение аналитических пространств такое, что для нек рых аналитических множеств и меньших размерностей выполняются условия: изоморфизм, и Модификация f наз. также стягиванием аналитич. множества Sна Т …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — абстрактная двумерное комплексное аналитическое многообразие, т. е. четырехмерное гладкое многообразие, снабженное комплексной структурой. Хотя теория А. п. и является частью общей теории комплексных многообразий, двумерный случай выделяется… …   Математическая энциклопедия

  • КУБИЧЕСКАЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ — проективное алгебраич. многообразие, задаваемое однородным уравнением 3 й степени с коэффициентами из нек рого основного поля k. Кубические кривые. Неприводимая кубич. кривая является либо гладкой (в этом случае ее канонич. класс равен 0, а род… …   Математическая энциклопедия

  • МИНИМАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ — алгебраическое многообразие с условием минимальности относительно существования бирациональных морфизмов на неособые многообразия. Точнее, пусть В класс всех бирацио нально эквивалентных неособых проективных многообразий над алгебраически… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.