ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ


ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ

- такой объект I абелевой категории С, что для каждого мономорфизма а : отображение

является сюръективным. Всякий инъективный подобъект I объекта А. выделяется прямым слагаемым. Произведение И. о. - всегда И. о. В случае, когда каждый объект в Сизоморфен подобъекту нек-рого И. о. категории С, говорят, что С- категория с достаточно многими инъективными объектами (такова, напр., категория Гротендика). В этих категориях объект инъективен тогда и только тогда, когда он выделяется прямым слагаемым из любого объекта, его содержащего. Для объектов таких категорий можно строить резольвенты, состоящие из И. <о. (инъективные резольвенты), что позволяет развивать в этих категориях гомологическую алгебру.

В локально нётеровых категориях (см. Топологизированная категория )прямая сумма И. о. является И. о., а каждый И. о. изоморфен прямой сумме неразложимых И. о. и это представление однозначно [3]. Если С- категория модулей над нётеровым коммутативным кольцом Л, то неразложимые инъективные модули суть инъективные оболочки полей частных факторколец где - произвольный простой идеал в L[4].

Примеры: 1) Категория абелевых групп имеет достаточно много И. о. Таковыми объектами являются полные (делимые) группы.

2) Категория правых R-модулей содержит достаточно много И. о. (см. Инъективный модуль).

3) Категория пучков модулей на окольцованном топологич. пространстве (X, О X )содержит достаточно много И. о. Примерами таких И. о. служат пучки F, все слои к-рых Fx являются инъективными О X, х- модулями. В случае, когда (X, О X )есть схема, для квазикогерентных О X, x -модулей верно и обратное утверждение: всякий И. о. есть пучок, все слои к-рого являются инъективными О X, x -модулями.

Лит.: [1] Букур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [3] Gabriel P., "Bull. Soc. Math. Prance", 1962, t. 90, p. 323-448; [4] Matlia E., "Pacific J. Math.", 1958, v. 8, p. 511-28.

И. В. Долгачев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНЪЕКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ" в других словарях:

  • ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ — инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R модулей М, N, для любого мономорфизма i: и для любого гомоморфизма f: найдется такой гомоморфизм g: что диаграмма… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ — термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие… …   Математическая энциклопедия

  • ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ — числовая характеристика объекта категории относительно некоторого выделенного класса объектов этой категории. Основная область применения этого понятия категории модулей над кольцом. Пусть фиксированный класс объектов абелевой категории и объект… …   Математическая энциклопедия

  • Модуль — (от лат. modulus  «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.