ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ

ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ

- антагонистическая игра, в к-рой множеством чистых стратегий игроков I и II является сегмент [0,1]. При надлежащей нормировке к И. на е. к. может быть сведена любая антагонистич. игра с континуальными множествами стратегий у обоих игроков. И. на е. к. задаются функцией выигрыша К( х, у), определенной на единичном квадрате. Смешанными стратегиями игроков являются функции распределения на единичном интервале.

Если функция выигрыша ограничена и измерима по обеим переменным, то выигрыш игрока I, в условиях применения игроками I и II смешанных стратегий Fи Gсоответственно, равен, по определению,

Если функция К( х, у )непрерывна по обеим переменным, то

т. е. для такой игры реализуем минимакса принцип и существуют обозначенное через v значение игры и оптимальные стратегии у обоих игроков. В дальнейшем теоремы о существовании значения игры (теоремы о минимаксах) были доказаны при более слабых предположениях относительно функции выигрыша. Из общих теорем о минимаксах следует, напр., существование игры для И. на е. к. с ограниченной функцией выигрыша, полунепрерывной сверху по хили снизу по у. Доказаны теоремы существования значения игры для нек-рых специальных классов разрывных функций выигрыша (напр., для игр с выбором момента времени). Однако не все И. на е. к. обладают значением игры. Так, для функции К( х, у), равной

имеют место равенства

Для И. на е. к. с непрерывной функцией выигрыша выяснена структура множества игр с единственным решением. Имейно, множество непрерывных функций от двух переменных, для к-рых соответствующая И. на е. к. имеет единственное решение, оптимальные стратегии обоих игроков непрерывны и их носителями (см. Носитель меры )являются нигде не плотные совершенные замкнутые множества лебеговой меры нуль, содержит всюду плотное подмножество типа Gd.

Общих методов решения И. на е. к. не существует. Тем не менее для нек-рых классов И. на е. к. можно либо найти решение аналитически (таковы, напр., игры с выбором момента времени, игры с функцией выигрыша, зависящей только от разности стратегий игроков и обладающие оптимальными выравнивающими стратегиями), либо доказать для таких игр существование оптимальных стратегий с конечным носителем (таковы, напр., выпуклые игры, вырожденные игры, колоколообразные игры )и тем самым получить возможность свести задачу нахождения решения И. на е. к. к решению нек-рой матричной игры. Для решения игр с непрерывной функцией выигрыша можно применять приближенные методы.

Лит.:[1] Карлин С, Математические методы в теории игр, программировании, экономике, пер. с англ., М., 1964.

Е. <Б. Яновская.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ" в других словарях:

  • КОЛОКОЛООБРАЗНАЯ ИГРА — игра на единичном квадрате, у к рой функция выигрыша имеет вид j(х у), где j положительная аналитическая регулярная частотная функция Пойа, то есть: 1) j(u) определена при всех 2) для любого пи любых наборов и имеет место неравенство 3) для… …   Математическая энциклопедия

  • ИГРА С ВЫБОРОМ МОМЕНТА ВРЕМЕНИ — бескоалиционная игра, в к рой стратегиями игроков являются моменты совершения ими нек рых действий, выбираемые из нек рого фиксированного интервала, а функция выигрыша игроков непрерывна на множестве ситуаций (за исключением тех ситуаций, в к рых …   Математическая энциклопедия

  • ВЫПУКЛАЯ ИГРА — бескоалиционная игра п лиц, в к рой существует такое непустое множество игроков А, что для каждого игрока множество его чистых стратегий выпукло, а функция выигрыша ) вогнута по при всех значениях . Если функции выигрыша всех игроков в. В. и.… …   Математическая энциклопедия

  • БЕСКОНЕЧНАЯ ИГРА — бескоалиционная игра, в .частности антагонистическая игра, с бесконечными множествами стратегий игроков. Пусть Б. и. плиц. К. Берж доказал [см. 1], что если локально выпуклые бикомпактные линейные топологические пространства, функции выигрыша… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫРОЖДЕННАЯ ИГРА — бескоалиционная игра п лиц, в к рой функция выигрыша каждого игрока iвырождена, т. е. имеет вид где функции, заданные на множестве чистых стратегий игрока В случае антагонистических В. и. на единичном квадрате функция выигрыша игрока I равна… …   Математическая энциклопедия

  • ИГР ТЕОРИЯ — теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликтов. Формальное определение игры. Под конфликтом понимают явление, применительно к к рому можно говорить, кто и как в этом явлении участвует, какие у него могут быть… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»