ДЕФЕКТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО

оператора - ортогональное дополнение D_l, области значений оператора А _l =A -lI, где А- линейный оператор, определенный на линейном многообразии D_A гильбертова пространства Н, а l - регулярное значение (регулярная точка) оператора А. При этом под регулярным значением оператора Апонимается такое значение параметра X, при к-ром уравнение (А-lI) х=у имеет единственное решение для любого у, а оператор (А-lI)^-1 ограничен, т. е. резольвента оператора Аограничена. При изменении l Д. п. Dl. меняется, но его размерность остается одна и та же для всех l, принадлежащих связной компоненте открытого множества всех регулярных значений оператора А.

Если А- симметрия, оператор с плотной областью определения D_A, то его связными компонентами регулярности будут верхняя и нижняя полуплоскости. В этом случае а дефектные числа n₊=dim D_i и n_-= dim D_-i, где А*- сопряженный оператор, наз. (положительным и отрицательным) индексами дефекта оператора А. Кроме того, т. е. D_A* есть прямая сумма D_A, D_i и D_-i. Таким образом, если n₊=n_-=0, то оператор Аявляется самосопряженным; в противном случае Д. п. симметрия, оператора характеризуют степень его отклонения от самосопряженного оператора.

Д. п. играют важную роль в построении расширений симметрия, оператора до максимального оператора или до самосопряженного (гипермаксимального) оператора.

Лит.:[1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [3] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1962-66; [4] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954.

В. И. Соболев.