НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЙ ОПЕРАТОР


НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЙ ОПЕРАТОР

- линейный оператор с замкнутой областью значений. Пусть А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Xобластью определения и с областью значений R(А)в банаховом пространстве Y. Тогда А- Н. р. о., если т. е. если R(A)является замкнутым подпространством в Y. Пусть - оператор, сопряженный к А. Для того чтобы Абыл Н. р. о., необходимо и достаточно, чтобы т. е.

чтобы область значений Аявлялась ортогональным дополнением к подпространству нулей оператора Пусть дано уравнение с Н. р. о.

(нормально разрешимое уравнение). Если т. е. однородное сопряженное уравнение имеет только тривиальное решение, то R(A)=Y. Если же то для разрешимости (*) необходимо и достаточно, чтобы для всех решений уравнения

Пусть ниже А- замкнутый оператор. Н. р. о. Аназ. п- нормальным, если его подпространство нулей N(А)конечномерно

Н. р. о. Аназ. d-нормальным, если его дефектное подпространство конечномерно . n-нормальные и d-нормальные операторы наз. иногда полуфредгольмовыми. Для того чтобы оператор Абыл n-нормальным, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого компактного множества из R(А). был локально компактным.

Пусть Xкомпактно вложено в банахово пространство . Для га-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки

Оказывается, оператор А d -нормален тогда и только тогда, когда n-нормален. При этом

Следовательно, если компактно вложено в банахово пространство Z, то для d-нормальности Анеобходимо и достаточно наличие априорной оценки

Пара чисел (п(А), d(A))наз. (d-характеристикой оператора А. Если Н. р. о. А n -нормален или d-нормален, то число

наз. индексом оператора А. Свойства n-нормальности и d-нормальности устойчивы: если А- п-нормален (d-нормален), а В - линейный оператор малой нормы или вполне непрерывный, то A+В n-нормален (d-нормален).

Лит.:[1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937, с. 266 - 90; [2] Аткинсон Ф., "Матем. сб.", 1951, т. 28, № 1, с. 3-14; [3] Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., 1971.

В. А. Треногий.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЙ ОПЕРАТОР" в других словарях:

  • Нормально разрешимый оператор — Определение Пусть X, Y банаховы пространства, . Тогда оператор T называется нормально разрешимым, если его образ замкнут. Литература Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа.  3 е изд.  Новосибирск: Изд во Ин та математики …   Википедия

  • НЕТЕРОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор, одновременно n нормальный и d нормальный (см. Нормально разрешимый оператор). Иначе говоря, Н. о. А это нормально разрешимый оператор с конечной d характеристикой . Индекс Н. о. Атакже является конечным числом. Простейший… …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕДГОЛЬМОВ ОПЕРАТОР — линейный нормально разрешимый оператор В, действующий в банаховом пространстве Еи обладающий нулевым индексом Классич. примером Ф. о. является оператор вида где I единичный, а Т вполне непрерывный операторы в E. В частности, Ф. о. в пространствах …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.