ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- однозначная аналитич. функция f(z), имеющая только изолированные особенности на всей конечной плоскости комплексного переменного z и такая, что существуют два числа р 1, р 2, отношение к-рых не является действительным числом и к-рые являются периодами f(z), т. е. р 1, р 2 таковы, что имеет место тождество

(Если отношение р 12 действительно и рационально, то f(z) - однопериодич. функция; если оно - иррационально, то f(z)=const.) Все числа вида тр 1+пр 2, где т, п- целые, также являются периодами f(г). Все периоды данной Д. ф. образуют дискретную абелеву группу по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов), базис к-рой (базис периодов) состоит из двух примитивных периодов 2w1, 2w3,Все остальные периоды этой Д. ф. представимы в виде 2mw1+2nw3, где т, п- целые. Не существует аналитич. функций, одного комплексного переменного, кроме констант, имеющих более двух примитивных периодов.

Точки вида 2mw1+2nw3, где т, п- целые, образуют решетку периодов, разбивающую всю плоскость z на параллелограммы периодов. Точки (числа) zl, z2, для к-рых

наз. конгруэнтными (сравнимыми по модулю периодов). В конгруэнтных точках Д. ф. f(z) принимает одно и то же значение, поэтому достаточно изучить поведение f(z) в к.-л. основном параллелограмме периодов. Обычно в. качестве такового принимается множество точек

т. е. параллелограмм с вершинами

Не существует отличной от константы Д. ф., регулярной во всем основном параллелограмме периодов. Мероморфные Д. ф. наз. эллиптическими функциями. Обобщение понятия эллиптич. функций на случай функций f(z1, z2, ..., zn )от комплексных переменных носит название абелевых функций.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968, гл. 7; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 2; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1903, гл. 20; [4] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970.

Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • Двоякопериодическая функция — Графики синуса и косинуса  периодических функций с периодом T = 2π. Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через какой то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного… …   Википедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — в собственном смысле двоякопериодическая функция, мероморфная в конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф. обладают следующими основными свойствами. Не существует целых Э. ф., кроме констант (теорема Лиувилля). Пусть примитивные периоды …   Математическая энциклопедия

  • Эллиптические функции —         функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.          Подобно тому… …   Большая советская энциклопедия

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (более строгое определение см. ниже). Подобно тому как простейшая тригонометрич. ф ция и=sinx является обратной по отношению к интегралу так одна из Э. ф. Якоби u =sn(x; k) =snx является… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.