ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- однозначная аналитич. функция f(z), имеющая только изолированные особенности на всей конечной плоскости комплексного переменного z и такая, что существуют два числа р ₁, р ₂, отношение к-рых не является действительным числом и к-рые являются периодами f(z), т. е. р ₁, р ₂ таковы, что имеет место тождество

(Если отношение р ₁/р ₂ действительно и рационально, то f(z) - однопериодич. функция; если оно - иррационально, то f(z)=const.) Все числа вида тр ₁+пр ₂, где т, п- целые, также являются периодами f(г). Все периоды данной Д. ф. образуют дискретную абелеву группу по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов), базис к-рой (базис периодов) состоит из двух примитивных периодов 2w₁, 2w₃,Все остальные периоды этой Д. ф. представимы в виде 2mw₁+2nw₃, где т, п- целые. Не существует аналитич. функций, одного комплексного переменного, кроме констант, имеющих более двух примитивных периодов.

Точки вида 2mw₁+2nw₃, где т, п- целые, образуют решетку периодов, разбивающую всю плоскость z на параллелограммы периодов. Точки (числа) z_l, z₂, для к-рых

наз. конгруэнтными (сравнимыми по модулю периодов). В конгруэнтных точках Д. ф. f(z) принимает одно и то же значение, поэтому достаточно изучить поведение f(z) в к.-л. основном параллелограмме периодов. Обычно в. качестве такового принимается множество точек

т. е. параллелограмм с вершинами

Не существует отличной от константы Д. ф., регулярной во всем основном параллелограмме периодов. Мероморфные Д. ф. наз. эллиптическими функциями. Обобщение понятия эллиптич. функций на случай функций f(z₁, z₂, ..., z_n )от комплексных переменных носит название абелевых функций.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968, гл. 7; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 2; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1903, гл. 20; [4] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970.

Е. Д. Соломенцев.