ГРЁТША ТЕОРЕМЫ

- различные результаты о конформных и квазиконформных отображениях X. Грётша (см. [1]). На основе разработанного им полос метода, представляющего первую общую форму метода конформных модулей (см. Экстремальной метрики, метод),X. Грётш систематически исследовал и решил большое количество экстремальных задач конформного отображения многосвязных (в том числе бесконечносвязных) областей, включая вопросы существования, единственности и геометрич. свойств экстремальных отображений. Ниже приведены нек-рые из простейших Г. т.

Среди всех однолистных конформных отображений фиксированного кругового кольца , при к-рых единичная окружность переходит в себя, максимум диаметра образа окружности достигается в том и только в том случае, когда граничной компонентой служит прямолинейный отрезок с серединой в точке . Аналогичный результат установлен для многосвязных областей.

Среди всех однолистных конформных отображений фиксированной многосвязной области с разложением в бесконечности и с нормировкой в фиксированной точке максимум , максимум и минимум в фиксированной точке достигаются только на отображениях, переводящих каждую граничную компоненту Всоответственно в дугу окружности с центром в точке ; в дугу эллипса с фокусами в точках и в дугу гиперболы с фокусами в точках и . В каждой из указанных задач экстремальное отображение существует и единственно. В том же классе отображений для фиксированного областью значений функционала является круг

Каждая граничная точка этого круга является значением функционала Ф на единственном отображении из рассматриваемого класса, обладающем определенными геометрич. свойствами.

X. Грётш впервые предложил одну из форм представления квазиконформных отображений и перенес на эти отображения многие экстремальные результаты, установленные им ранее для конформных отображений.

Лит.: [1] Grotzsch Н., "Вег. Verhandl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Naturwiss. Kl.", 1929, Bd 81, № 1, S. 38-47; № 4, S. 217-21; 1930, Bd 82, № 1, S. 69-80; 1932, Bd 84, №4, S. 269-78; [2] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962.

П. М. Тамразов.