ГИЛЬБЕРТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ГИЛЬБЕРТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

функции f- несобственный интеграл


Если , то функция gсуществует почти для всех значений х. Если , , тогда функция gтакже принадлежит и почти всюду имеет место двойственная формула [обращение преобразования (1)]:


где константа . зависит только от р.

Формулы (1), (2) эквивалентны формулам


в к-рых интегралы понимаются в смысле главного значения.

Г. п. функции f называется также рассмотренный в смысле главного значения интеграл


Этот интеграл часто наз. Гильберта сингулярным интегралом. В теории рядов Фурье функцию определяемую формулой (6), наз. сопряженной с f.

Если то gсуществует почти всюду, а если f удовлетворяет условию Липшица с показателем то gсуществует при любом x и удовлетворяет тому же условию. Если то обладает тем же свойством и имеет место неравенство, аналогичное (3), в к-ром интегралы взяты на интервале (0,2p). Таким образом, интегральные операторы, порождаемые Г. п., являются ограниченными (линейными) операторами в соответствующих пространствах

Когда f удовлетворяет условию Липшица или и, кроме того,


то имеет место двойственная формула


причем


В классе функций, удовлетворяющих условию Липшица, равенство (7) справедливо всюду, а в классе функций, суммируемых с р-й степенью, - почти всюду.

Каждую из выписанных выше двойственных формул [напр. (4), (5)] можно рассматривать как интегральное уравнение 1-го рода; тогда вторая формула даст решение этого уравнения.

Когда функции и рассматриваются как ядра интегральных операторов, то их часто наз. Гильберта ядрам и Коши ядром. Между этими ядрами в случае единичной окружности существует простая связь:


где


Лит.: [1] Нillbеrt D., Grundzuge eincr allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen, Lpz.- В., 19)2 (2 Aufl., 1924); [2] RieszM., "Math. Z.", 1927, Bd 27, № 2, S. 218-44: [3] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.-Л., 1948; [4] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3изд., М., 1968; [5] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.

Б. В. Хведелидзе.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "ГИЛЬБЕРТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ" в других словарях:

  • Преобразование Гильберта — Преобразование Гильберта  Хуанга (англ. HHT) это преобразование, которое представляет собой разложение сигнала на эмпирические моды, с последующим применением к полученным компонентам разложения преобразования Гильберта.… …   Википедия

  • Преобразование Фурье — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 го года[1]. Важнейшее свойство преобразования Радона обратимость, то есть возможность… …   Википедия

  • Преобразование Гегенбауэра — Преобразование Гегенбауэра  интегральное преобразование функции : где   многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то им …   Википедия

  • Преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа  интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… …   Википедия

  • Преобразование Хенкеля — В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой: где Jν  функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции Fν(k) называют следующее выражение: которое можно проверить с… …   Википедия

  • Преобразование Ханкеля — В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой: где Jν функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции Fν(k) называют следующее выражение: которое можно… …   Википедия

  • Преобразование Ганкеля — В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой: где Jν  функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции Fν(k) называют следующее выражение: которое можно проверить с… …   Википедия

  • Фурье преобразование — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Лапласа преобразование — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»