ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТЕОРИЯ

раздел дифференциальной геометрии, основанный на теории представления групп. Применение метода внешних дифференциальных форм позволяет ввести дифференциальные критерии Г. о. т., превращающие ее в эффективный аппарат дифференцпально-геометрич. исследования пространств с фундаментальными группами, а также обобщенных пространств (расслоенных пространств, пространств со связностью, дифференцируемых многообразий, снабженных различными дифференциально-геоме-трич. структурами}.

Если каждому элементу S r -членов группы Ли Gпоставлено в соответствие преобразование каждой точки М, принадлежащей нек-рой области Dтопологич. пространства Е, причем нулевому элементу группы соответствует тождественное преобразование (отображение) пространства в себя, а последовательное выполнение преобразований при помощи двух элементов и равносильно преобразованию, осуществляемому при помощи произведения этих элементов, и в данном пространстве введена надлежащим образом система координат, то говорят, что группа Gлокально представлена в пространстве Екак группа преобразований. Пространство Еназывается пространством представления группы G, или пространством с фундаментальной группой G.

Геометрическим объектом (г. о.) с данной фундаментальной группой G, или г. о., присоединенным к группе G(кратко G-объектом), наз. точка пространства представления данной группы G. Само это пространство наз. пространством г. о. в широком смысле слова, или обобщенным однородным пространством. Группа преобразований пространства г. о., реализующая его фундаментальную группу, наз. фундаментальной группой этого г. о. Два г. о. в одном и том же пространстве представления группы G наз. эквивалентными, если один из них может быть преобразован в другой с помощью преобразования фундаментальной группы G. Система интранзитивности наз. пространством г. о. в собственном смысле.

Пространство представления группы G наз. однородным пространством с фундаментальной группой G, если в нем реализовано истинное транзитивное представление этой группы. Во всяком пространстве истинного представления конечной группы существует репер, состоящий из конечного числа точек.

Пусть в пространстве г. о. Xреализовано истинное транзитивное представление. Подвергая пространство представления и с ним репер Rвсевозможным преобразованиям фундаментальной группы G, получают полное семейство (пространство) реперов, в к-ром осуществляется просто транзитивное представление группы G. Это пространство отождествляется с групповым или параметрич. пространством группы G. Если принять его произвольную точку (репер) за исходную и сопоставить ей единичный элемент группы G, то все точки этого пространства приводятся во взаимно однозначное соответствие с элементами группы G. Групповые параметры могут рассматриваться как параметры подвижного репера.

Между реперами семейства и элементами группы может быть установлено также и взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому элементу группы приведен в соответствие репер , получаемый из произвольно зафиксированного начального (абсолютного) репера Rправым (левым) сдвигом при помощи элемента Текущему элементу будет соответствовать текущий "подвижной" репер . Каждая точка -Xпространства представления группы Gопределяется относительно репера Rсвоими координатами , наз. абсолютными координатами, или абсолютными компонентами, г. о. . Относительными компонентами г. о. по отношению к реперу наз. абсолютные компоненты г. о., в к-рый рассматриваемый объект Xпревращается при помощи преобразования, переводящего подвижный репер в абсолютный репер (где -групповые параметры r-членной группы ). Относительные компоненты фиксированного г. о. удовлетворяют вполне интегрируемой системе дифференциальных уравнений

где - левоинвариантные формы группы Gи . Система (1) наз. системой дифференциальных уравнений инвариантности г. о., а также системой дифференциальных у равнений представления группы Gсинвариантными формами . Функции наз. основными определяющими г. о. функциями (или определяющими представление функциями). Система вида (1) тогда и только тогда является системой дифференциальных уравнений инвариантности г. о. с относительными компонентами и группой преобразований G, когда коэффициенты являются функциями только от переменных и данная система (1) вполне интегрируема (основная теорема Г. о. т.). Необходимыми и достаточными условиями полной интегрируемости системы дифференциальных уравнений инвариантности г. о. является выполнение структурных уравнений Ли для определяющих объект функций x^J_s(X^K):

Дифференциальные формы

наз. структурными формами представления (или структурными формами г. о. с относительными компонентами ). Размерность Nпространства представления г. о. наз. рангом объекта X. Необходимым условием истинного транзитивного представления r-членной группы в пространстве объекта Xявляется соотношение Число , где R - ранг матрицы , наз. жанром г. о. Жанр совпадает с числом независимых абсолютных инвариантов г. о. Система форм

где

вполне интегрируема. Для фиксированной точки пространства представления группы G

а возникающие формы

удовлетворяют структурным уравнениям линейной группы.

Число линейно независимых форм среди форм

является арифметич. инвариантом пространства представления группы G. Число наз. характером изотропии m-го порядка пространства представления группы G. Числа r _а образуют невозрастающую последовательность. Всегда существует такое наименьшее число д, что

Число qтакже является арифметич. инвариантом пространства представления группы G и наз. порядком нелинейности г. о. X.

Если система дифференциальных уравнений инвариантности г. о.

содержит подсистему

то система компонент определяет г. о.- подобъект г. о. с относительными компонентами .

Если два г. о. Xи Yприсоединены к одной и той же группе, причем все относительные компоненты одного объекта могут быть представлены как определенные аналитич. функции от относительных компонент второго объекта:

то говорят, что объект охватывается объектом X. Г. о. Xназ. охватывающим г. о., а объект Y - охваченным г. о. Два г. о. наз. подобными, если каждый из них охватывает другой. Ранги, жанры, характеристики и типы подобных г. о. совпадают. Частный случай подобных г. о. дают изомеры-г. о., компоненты к-рых отличаются только порядком следования. Если система дифференциальных уравнений инвариантности г. о. алгебраически разрешима относительно всех инвариантных форм группы G, то этим объектом можно охватить любой другой объект, присоединенный к группе G.

Система функций (3) тогда и только тогда будет системой относительных компонент г. о., когда в системе дифференциальных уравнений, к-рой удовлетворяют функции , коэффициенты разложения по формам будут функциями только от этих компонент , т. е.

Если в дифференциальных уравнениях

к-рым удовлетворяют компоненты г. о. с относительными компонентами функции однородны относительно компонент , то система функций наз. усеченным г. о.

Пусть имеется г. о. Xи охваченный им объект Y, т. е. тогда

Совокупность относительных компонент охватывающего г. о. , охваченного г. о. и частных производных вторых по первым является системой относительных компонент нового охваченного г. о.:

При этом, если для и выполняются уравнения (2), (4) соответственно, то

Г. о. (5) наз. производным г. о.

Г. о. наз. линейным, или квазитензорным объектом, если группа преобразований его компонент линейна, т. е.

Если то г. о. наз. линейным однородным объектом, или тензором. Г. о. - линейный объект тогда и только тогда, когда основные определяющие его функции имеют вид:

где - постоянное. Г. о. является линейным однородным объектом тогда и только тогда, когда т. е.

Однокомпонентный тензор Xназ. инвариантом. Дифференциальные уравнения инварианта имеют вид где - постоянные. Если не все равны нулю, инвариант наз. относительным. При инвариант наз. абсолютным.

Если n-мерное дифференцируемое многообразие и - локальные координаты точки где - некоторая область этого многообразия, то всегда можно ввести вполне интегрируемую систему плинейных линейно независимых дифференциальных форм qⁱ, первыми интегралами к-рой являются координаты uⁱ. Это означает, что и

Рассмотрим систему rлинейных линейно независимых форм , удовлетворяющих следующим структурным уравнениям

Формы имеют расслоенную структуру по отношению к формам и при т. е. при становятся инвариантными формами r-членной группы Ли G со структурными константами .

Говорят, что на V_n задано (локально) поле г. о. , присоединенного к группе G (поле G-объекта), если в каждой точке этого многообразия, определен г. о. , присоединенный к нек-рой группе Ли G(G-объект). При этом где - абсолютные координаты объекта . Следовательно

Иначе, система функций , удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений

наз. полем г. о., присоединенного к группе G, если система вполне интегрируема. Г. о. наз. образующим объектом поля, а функции при становятся относительными компонентами г. о. . Уравнения наз. дифференциальными уравнениями поля г. о. Поле г. о. определяет сечение в присоединенном расслоенном пространстве, базой к-рого являются , а слоями - пространства данного геометрич. объекта.

Функции наз. основными определяющими полефункциями, коэффициенты - дополнительными определяющими функциями ноля г. о. (или пфаффовыми производными поля). Совокупность функций , также является системой относительных компонент г. о., к-рый наз. продолжением г. о. , или продолженным г. о. первого порядка г. о. .

Система дифференциальных уравнений (6) поля г. о. правильно продолжаема но формам q^k. Это означает, что в результате внешнего дифференцирования системы получается квадратичная система вида

где Система

вместе с системой (6) образует систему дифференциальных уравнений поля продолженного г. о. Система (6) - (7), в свою очередь, правильно продолжаема. После q- гопродолжения получается система дифференциальных уравнений поля продолженного г. о. порядка qс относительными компонентами

Если группа G, к к-рой присоединен г. о., является дифференциальной группой порядка р, то г. о. наз. дифференциально-геометрическим объектом, а поле такого объекта- полем дифференциально-геометрического объекта.

Если образующий объект поля охватывает другой объект (охватывается другим объектом), то поле первого наз. охватывающим (охваченны м), а поле второго - охваченным (охватывающим).

Если на дифференцируемом многообразии задано поле г. о., то наз. оснащенным, а заданное поле и образующий его объект - оснащающим полем и, соответственно, объектом.

Поле оснащающего г. о. индуцирует на дифференциально-геометрич. структуру (G-структуру в широком смысле слова).

Поэтому оснащающий объект наз. также и структурным объектом. Тип структуры определяется типом структурного объекта.

Лит.:[1] Веблен О., Уайтхед Д ж., Основания дифференциальной геометрии, пор. с англ., М., 1949, с. 135- 221; [2] Лаптев Г. Ф., Дифференциальная геометрия погруженных многообразий, М., 1953 ("Тр. Моск. матем. об-ва", т. 2). Н. М. Остиану.