ГАРТОГСА ТЕОРЕМА

Хартогса теорема,- 1) Основная (главная, или фундаментальная) Г. т.: если функция определенная в области , в любой точке голоморфна по каждому переменному (при фиксированных ), то f голоморфна в Dпо совокупности переменных. Имеется много обобщений этой теоремы на случаи, когда часть переменных действительна или используются не все точки области Dили когда допускаются нек-рые особенности f. Напр.: а) если функция определенная в области , голоморфна в области и при каждом фиксированном , голоморфна в шаре то f голоморфна в области D; б) если функция f, определенная в со значениями из расширенной комплексной плоскости, рациональна по каждому переменному, то f-рациональная функция.

2) Г. т. о продолжении: пусть область имеет вид , где и область ограничена. Любая функция f, голоморфная в окрестности множества голоморфно продолжается в область .

3) Иногда к Г. т. относят также теорему об устранении компактных особенностей (при ); она часто именуется теоремой Осгуда - Брауна (см. [3]).

4) Г. т. называют также теоремы о непрерывном расположении особых точек при , об аналитичности множества особых точек и теорему о равномерной ограниченности последовательности поточечно ограниченных субгармонич. функций Теоремы 1), 1а), 2) н 4) впервые доказаны были Ф. Гартогсом (Хартогсом).

Лит.:[1] Наrtоgs F., "Math. Ann.", 1906, Bd 62, S. 1- 88; [2] Бохнер С., Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1951; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969. Е. М. Чирка.