Нормальная форма матриц

(жорда́нова)

        С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

        

         (1)

         Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке λ₁, во второй λ₂ и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья — порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел λ₁, λ₂,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие Элементарные делители: (λ — λ₁)⁴, (λ — λ₂)², (λ — λ₃)². По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

         Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT^-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

         Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

        

        

        ……………………………………….

        

         в матричной записи:

        

        Введём новые неизвестные функции y₁, у₂,... y_n при помощи неособенной матрицы t_ik - числа (i, k = 1, 2, …, n)]:

        

        ,

        

        ,

        …………………………………….

        

        ;

         в матричной записи:

         х = Ту.

         Подставляя это выражение для x в (2), получим:

        

         где матрица I связана с матрицей А равенством:

         А=TIT^-1.

         Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица

        

        ,

        

        ,

        

        ,

        

        ,

        Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.

         Лит. см. при ст. Матрица.

        

        Жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка (1).