- Линейные дифференциальные уравнения
-
дифференциальные уравнения видаy(n) + p1(x) у(n-1) + ... + pn(x)y = f(x), (1)где у = y(x) — искомая функция, y(n), у(n-1),..., y' — её производные, a p1(x), p2(x),..., pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) ≡ 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y0 = y0(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk(x) выражается формулой:y0 = C1y1(x) + С2у2(х) + ... + Cnyn(x),где C1, C2,..., Cn — произвольные постоянные и y1(x), у2(х),..., yn(x) — линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (Вронскиана):(2)Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:y = y0+Y,где y0 = y0(x) — общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) — частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:,где yk(x) — решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wk(x) — алгебраическое дополнение элемента yk(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: pk(x) = ak (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой:где αk ± iβk (k = 1, 2, ..., m;λn + a1λn-1 + ... +an = 0,nk — кратности этих корней и Cks, Dks — произвольные постоянные.Пример. Для Л. д. у. y’’’ + у = 0 характеристическое уравнение имеет вид: λ3 + 1 = 0. Его корнями являются числа:λ1 = -1; λ2 = 3 =Следовательно, общее решение этого уравнения таково:.Системы Л. д. у. имеют вид:(j = 1, 2, ..., n).Общее решение однородной системы Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все fj(x) ≡ 0] даётся формулами:(j = 1, 2, ..., n)где yj1, yj2, ..., yjn — линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ∣yjk(x)∣ ≠ 0 хотя бы в одной точке).В случае постоянных коэффициентов pjk(x) = ajk частные решения однородной системы следует искать в виде:(j = 1, 2, ..., n),где Ajs — неопределённые коэффициенты, a λk — корни характеристического уравненияи mk — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц (См. Нормальная форма матриц)].Для решения Л. д. у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления.Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.
Полезное
Смотреть что такое "Линейные дифференциальные уравнения" в других словарях:
Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом — уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения)). Примерами могут… … Большая советская энциклопедия
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и системы — Линейное однородное уравнение первого порядка y + p(x)y = 0 Общ … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с… … Энциклопедия Кольера
Дифференциальные уравнения в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… … Википедия
Интегро-дифференциальные уравнения — Интегро дифференциальные уравнения класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала. где называется внешним дифференциальным оператором, а … Википедия
Обыкновенные дифференциальные уравнения — (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида , где неизвестная функция (возможно, вектор функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число… … Википедия
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — система бесконечного порядка бесконечная совокупность дифференциальных уравнений содержащая бесконечное множество неизвестных функций xk(t), k=1,2, . . ., и их производные. Решением такой системы наз. множество функций {xk(t)}, обращающих все… … Математическая энциклопедия
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися… … Википедия