Наложение (геом.)

Под этим названием в элементарной геометрии разумеют один из основных приемов доказательства теорем о равенстве фигур; в геометрии считается аксиомой, что плоские фигуры можно передвигать по плоскости без изменения их вида и свойств. Н. одной фигуры на другую достигается передвижением их по плоскости, причем это передвижение может иногда сопровождаться и переворачиванием; фигуры называются равными, если при Н. одной из них на другую они совпадают. Указанная аксиома, собственно говоря, выражает свойство плоскости, как предмета, на котором строится плоская геометрия, и в этом отношении понятие о Н. фигур может быть распространено и на кривые поверхности: говорят, что одна поверхность накладывается на другую без складок и разрывов, если точкам одной поверхности можно так сопоставить точки другой, что всевозможные соответственные линии на этих двух поверхностях имеют одинаковые длины. Из сказанного вытекает следующая задача, решаемая соображениями дифференциального исчисления: даны две поверхности; узнать, накладывается ли одна из них в сказанном смысле на другую? Для решения этой задачи необходимо пользоваться известной теоремой Гаусса о кривизне поверхностей (см.), если две поверхности накладываются одна на другую без складок и разрывов, то значение кривизны в соответственных точках этих двух поверхностей должны быть одинаковы. Легко понять, что обратное заключение не всегда имеет место, потому что каковы бы ни были данные поверхности, всегда можно на них выбрать такой закон соответствия точек, что кривизны поверхностей для этих соответственных точек будут одинаковы. В самом деле, обозначая через K кривизну одной поверхности, выраженной двумя независимыми переменными, в которых представлены координаты точки на этой поверхности, а через K₁ кривизну второй поверхности, выраженной в независимых переменных, соответствующих заданию другой поверхности, то всегда можно взять за одно уравнение, выражающее закон соответствия точек этих двух поверхностей, уравнение K=K₁. Чтобы убедиться, что одна поверхность накладывается на другую, нужно показать, что другое уравнение, выражающее закон соответствия точек, можно выбрать так, чтобы длины соответствующих кривых на этих двух поверхностях были одинаковы. Разбор таких условий составляет предмет прямой задачи о Н. поверхностей и относится к области дифференциального исчисления. Совершенно иные трудности представляет обратная задача: найти все поверхности, накладываемые на данную без складок и разрывов. Эта задача относится к области интегрального исчисления и решена вполне только для простейшего случая Н. на плоскость. Оказывается, что накладываются или, как говорят, развертываются на плоскость лишь те поверхности, которые представляют геометрическое место касательных к произвольной кривой двоякой кривизны в пространстве, так, например, геликоид (см.), образованный движением касательной к винтовой линии, есть поверхность, развертывающаяся на плоскость. Предельные случаи для указанных поверхностей представляют поверхности цилиндрические и конические, которые всегда развертываются на плоскость. Понятно, что развертывающиеся поверхности принадлежат к числу так называемых линейчатых, т.е. поверхностей, образованных движением прямой линии (см.). Так как плоскость есть такая поверхность, кривизна которой во всех ее точках равна нулю, то на основании теоремы Гаусса ясно, что кривизна поверхностей, развертывающихся на плоскость, во всех точках тоже равна нулю. До сих пор не удалось решить вполне даже ближайшей по простоте задачи развертывания на шар, т. е. на поверхность с постоянной положительной кривизной, не говоря уже о задаче более общей, о развертывании на любую данную поверхность. В этой в высшей степени трудной области приложения интегрального исчисления к геометрии замечательны изыскания Бура, который показал, что существует бесчисленное множество совершенно определенных винтовых поверхностей, развертывающихся на данную поверхность вращения.

Д. Граве.