Конечномерное пространство

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств

Всякий элемент $x$ конечномерного пространства $X$ представим единственным образом в виде

$x=a_1 e_1+a_2 e_2+...+a_n e_n,$

$a_1, a_2,...,a_n\in \mathbb P$ где $\mathbb P$ — поле(часто $\mathbb R$ или $\mathbb C$), над которым рассматривается пространство $X$, $e_1, e_2,...,e_n\in X$ — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

• Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
• Пусть X — конечномерное пространство и $\{x_1, x_2,...,x_k\}$ — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
• Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
• В любом конечномерном пространстве над полем $\mathbb R$ можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве $X$ с фиксированным базисом, размерности $n$, можно ввести скалярное произведение по правилу:
  $\forall x_1,x_2\in X, (x_1, x_2)=\sum_{k=1}^n a_k\cdot b_k$, где $\{a_k\},\{b_k\}$ — компоненты векторов $x_1$ и $x_2$ соответственно.
  Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем $\mathbb R$ можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
  • $X$ — рефлексивное пространство^[1].
  • Пространство $X^*$, сопряжённое к некоторому конечномерному пространству $X$, конечномерно и его размерность совпадает с размерностью $X$.
  • Для любого подпространства $M\subset X$ конечномерного пространства $X$ существует подпространство $M^\perp\subset X$^[2] такое, что $\forall x\in M, \forall y\in M^\perp, x\perp y$ и $X$ разлагается в прямую сумму $M$ и $M^\perp$, $X=M\oplus M^\perp$.
• В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
• Все нормы в конечномерном пространстве над полем $\mathbb R$ эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
• Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
• Пространство $X$ над полем $\mathbb R$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор $I: X\rightarrow X$ является вполне непрерывным.
• Пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над $X$ обратимый вполне непрерывный оператор.
• Пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в $X$ предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство $X$ является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в $X$ множество предкомпактно.
• Всякий линейный оператор $A:X\rightarrow Y$, определенный в конечномерном пространстве $X$ является непрерывным и даже вполне непрерывным.
• В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры

• Евклидово пространство $\mathbb E^3$ имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

$\left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \}$

Более общий случай — пространства $\mathbb R^n$ размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ($1\leq p <\infty$):

$\|x\|_p = \sqrt[p] {\sum_{i=1}^n{|x_i|^p}}$ или $\|x\|_\infty = \max_{i=1,2,\dots,n}{|x_i|}.$

Если ввести норму $\|x\|_2$ и скалярное произведение $(x,y) = \sqrt {\sum_{i=1}^n{x_i y_i}},$ то пространство будет евклидовым.

• $P^n$ -пространство всех многочленов степени не выше $n$. Размерность этого пространства $n$. Многочлены $1, x, x^2,..., x^n$ образуют в нём базис.
• Пусть $X$ - произвольное линейное пространство и пусть $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

Примечания

1. ↑ Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
2. ↑ $M^\perp$ часто называют ортогональным дополнением к $M$

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.