ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО это:

ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО

конечномерное пространство , удовлетворяющее условию: если - Ли алгебра над полем , а - ее представление в V, то существует такая функция , что для любых


при нек-ром целом . Функция наз. весом. Тензорное произведение представлений алгебры Lв В. п. принадлежащих весам соответственно, является представлением Lв пространстве к-рое также оказывается В. п. и принадлежит весу i При переходе от представления р к контраградиентному представлению пространство Vзаменяется на сопряженное пространство , а вес переходит в вес -. Е. Н. Кузьмин. ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ нелинейных уравнений- явление перехода нек-рого решения нелинейного уравнения в несколько решений (или полное его исчезновение) при малых изменениях параметров. Более точно, пусть нелинейное уравнение


с (не обязательно числовым) параметром имеет при фиксированном значении решение . Тогда при значениях , близких к , уравнение (*) может иметь несколько (более одного) решений , близких к .

В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения ,а пара наз. точкой ветвления у равнения (*).

Пример: Уравнение , где и - комплексные переменные, имеет точку ветвления ибо существует двузначное решение т. е. решение (при ) разветвляется при малых на два малых нетривиальных решения.

Современная теория В. р. основывается на идеях А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть и - комплексные банаховы пространства, - комплексное переменное, а - нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше производной в окрестности точки отображающий в окрестность нуля пространства E2 п такой, что - Фредгольма оператор.

Задача состоит в том, чтобы найти в шаре достаточно малого радиуса rвсе решения уравнения (*), непрерывные при где также достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального продолжения решения по параметру . Если существует обратный оператор , то задача имеет единственное решение , причем Если же , не существует, то нуль-пространство оператора Вимеет размерность . В этом случае задача может быть сведена к аналогичной конечномерной задаче. Пусть через Робозначен проектор на , а через - проектор на область значений оператора В, где I - тождественный оператор. Уравнение (*) может быть записано в виде системы


где Из первого уравнения системы определяется неявный оператор В результате его подстановки во второе уравнение системы получается уравнение


для определения ; оно наз. уравнением разветвления. Полное решение задачи о нахождении в шаре достаточно малого радиуса rвсех решений уравнения разветвления, непрерывных при (где достаточно мало), приводит к полному решению исходной задачи, ибо всякое ее решение пред-ставимо в виде


где - нек-рое решение уравнения разветвления.

Пусть - аналитический оператор в . Выбор базисов в и-мерных подпространствах и позволяет записать уравнение разветвления в виде системы


- аналитич. функции в точке причем все частные производные обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы может осуществляться при помощи теории исключения, метода Ньютона диаграммы п др. методов (см. [3] - [5]). При n=1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию уравнения разветвления, а значит и исходной задачи, возможны лишь следующие три случая: а) задача не имеет решений; б) задача имеет конечное число решений и все ени представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням разности ; в) задача имеет конечное число семейств решений, каждое из к-рых зависит от конечного числа свободных малых параметров, и, быть может, конечное число решений, указанных в б).

Для того чтобы имел место случай б), достаточно, чтобы было изолированным решением уравнения В случае б) решения удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде


где - коэффициенты, подлежащие определению, а возможные значения рмогут быть предварительно найдены с помощью уравнения разветвления. Подстановка такого ряда в (*) приводит к рекуррентной системе для нахождения При этом получаются задачи вида и каждое xk определяется с точностью до ппроизвольных постоянных, к-рые определяются из требований разрешимости последующих уравнений. Все полученные ряды сходятся в нек-рой окрестности точки . Оценка снизу радиуса окрестности может быть получена с помощью построения мажорант (см. [6]).

Для того чтобы имел место случай в), необходимо, чтобы было неизолированным решением уравнения . Здесь применение метода неопределенных коэффициентов может привести к расходящимся рядам (формальным решениям). Если задача инвариантна относительно непрерывной группы линейных операторов в , то в ряде случаев использование групповых соображений позволяет уменьшить число уравнений и неизвестных в уравнении разветвления и тем самым упростить задачу или даже свести ее к случаю б) (см. [7], [8]). .

Уравнение может иметь также решения, определенные лишь при Эти решения возможны только тогда, когда - неизолированное решение уравнения они находятся при помощи уравнения разветвления при Определение всех его многопараметрич. семейств решений приводит к определению всех решений уравнения (*) с

В случае вещественных пространств и уравнение разветвления изучается в комплексной области, а затем отбираются вещественные решения. Нек-рые из них могут оказаться определенными в полуокрестностях точки

Изложенная методика частично применима также в случаях, когда - достаточно гладкий оператор, В - нётеров оператор, а параметр - элемент еще одного банахова пространства Е(точки ветвления могут заполнять в Елинии и поверхности). Этим же способом исследуются нек-рые близкие задачи: задача отыскания больших решений (уравнение (*) может иметь решения при ), задача ветвления собственных значений и собственных элементов линейных операторов и др. (см. [3]). Частный случай, когда


исследовался также топологическими, вариационными методами и методами, использующими конусы в банаховом пространстве. В этом круге вопросов значительную роль играет понятие точки бифуркации. Встречаются также задачи о ветвлении решений, не укладывающиеся в описанную выше схему. Это, напр., задачи для дифференциальных уравнений с вырождением (см. [9], [10]) и задачи о длинных и уединенных волнах (см. [11]).

Лит.:[1] Ляпунов А. М., О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной мяссы жидкости, Собр. соч., т. 4, М., 1959; [2] Sсhmidt E., "Math. Ann.", 1908, Bd 65, S. 370-99; [3] Вайнберг М. М.. Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1989; 4 Вайнберг М. М., Треногин В. А., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 2: [5] Красносельский М. А. [и д р.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [6] Ахмедов К. Т., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 4, с. 135-53; [7] Юдович В. И., "Прикл. матем. и механ.", 1967, т. 31, в. 1, с. 101 -11; [8] ЛогиновБ. В., Треногий В. <А., "Докл. АН СССР", 1971, т. 197, № 1; [9] АхмедовК. <Т., там же, 1957, т. 115, № 1;[10] Сидоров Н. А., "Дифференц. уравнения", 1967, т. 3, № 9; [11] Тер-Крикоров А. М., Треногин В. А., там же, т. 3, № 3.

В, А. Треногий.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО" в других словарях:

  • ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО — весовой класс, пространство с весом, пространство функций, имеющих конечную норму (или полунорму) с нек рым функциональным множителем весом. При этом норма (полунорма) функции наз. в этом случае весовой нормой (полунормой), х вес наз. также… …   Математическая энциклопедия

  • Газонаполненное пространство — – ограниченное поверхностями пространство, содержащее газ или воздух. [ГОСТ Р 52953 2008] Рубрика термина: Теплоизоляционные свойства материалов Рубрики энциклопедии: Абразивное оборудование, Абразивы …   Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

  • ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ — в е с, функциональный множитель, позволяющий получить конечность нормы заданного типа для функции, у к рой указанная норма (или полунорма) без этого множителя бесконечна. Понятие В. ф. играет большую роль в вопросах приближения функции (в… …   Математическая энциклопедия

  • ФРИДРИХСА НЕРАВЕНСТВО — неравенство вида где ограниченная область точек х = х (х 1, ..., х n) n мерного евклидова пространства с (n 1) мерной границей Г, удовлетворяющей локально условию Липшица, функция (пространству Соболева). Правая часть Ф. н. задает эквивалентную… …   Математическая энциклопедия

  • Топки* — или пространство, в котором так сожигается топливо (см. Горючие материалы), чтобы тепло, развивающееся при горении, сообщалось в желаемой мере тем твердым, жидким или газообразным предметам (или пространствам, ими наполненным), которые желательно …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Топки — или пространство, в котором так сожигается топливо (см. Горючие материалы), чтобы тепло, развивающееся при горении, сообщалось в желаемой мере тем твердым, жидким или газообразным предметам (или пространствам, ими наполненным), которые желательно …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Сахар свекловичный и тростниковый* — I. Химия. II. Техническое производство. III. Статистика. IV. Акциз на сахар. V. Сахарная нормировка. VI Сахар в международной торговле. I. С. (хим. С 12 Н 22 О 11). Нахождение и добывание свекловичного и тростникового С. см. ниже. С.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Сахар свекловичный и тростниковый — I I. Химия. II. Техническое производство. III. Статистика. IV. Акциз на сахар. V. Сахарная нормировка. VI Сахар в международной торговле. I. С. (хим. С12Н22О11). Нахождение и добывание свекловичного и тростникового С. см. ниже. С. кристаллизуется …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Вода — С древнейших времен стали понимать великое значение воды не только для людей и всяких животных и растительных организмов, но и для всей жизни Земли. Некоторые из первых греческих философов ставили воду даже во главе понимания вещей в природе, и… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Кокс — [В этой статье излагаются: цели коксования, выбор материала, устройство коксовальных печей, собирание побочных продуктов, физические и химические свойства кокса и статистические замечания.] нелетучий углеродистый остаток, получаемый из каменного… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»