Монотонная функция

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R.$ Тогда

• функция $f$ называется возраста́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$.

• функция $f$ называется стро́го возраста́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$.

• функция $f$ называется убыва́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)$.

• функция $f$ называется стро́го убыва́ющей на $M$, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, $f:[a,b] \to \R,$ определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция $f:(a,b) \to \R$ дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f \in C \bigl( (a,b) \bigr)$ непрерывна на $(a,b),$ и имеет в каждой точке $x\in (a,b)$ производную $f'(x).$ Тогда

  $f$ не убывает на $(a,b)$ тогда и только тогда, когда $\forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge 0;$

  $f$ не возрастает на $(a,b)$ тогда и только тогда, когда $\forall x \in (a,b)\; f'(x) \le 0.$

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f \in C \bigl( (a,b) \bigr)$ непрерывна на $(a,b),$ и имеет в каждой точке $x\in (a,b)$ производную $f'(x).$ Тогда

  если $\forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0,$ то $f$ строго возрастает на $(a,b);$

  если $\forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0,$ то $f$ строго убывает на $(a,b).$

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале $(a,b).$ Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть $f\in C\bigl( (a,b) \bigr),$ и всюду на интервале определена производная $f'(x).$ Тогда $f$ строго возрастает на интервале $(a,b)$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. $\forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;$
2. $\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.$

Аналогично, $f$ строго убывает на интервале $(a,b)$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. $\forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;$
2. $\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.$

Примеры

• Экспонента $f(x) = e^x$ строго возрастает на всей числовой прямой.
• Парабола $f(x) = x^2$ строго убывает на $(-\infty,0]$ и строго возрастает на $[0,\infty)$.
• Константа $f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}$ одновременно невозрастает и неубывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

См. также

• Монотонная последовательность