Непрерывная дробь

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

$[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;$

где a₀ есть целое число и все остальные a_n натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

Разложение в цепную дробь

Любое вещественное число $x$ может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью $[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]$, где

$a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,$

$a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,$

$\dots$

$a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,$

$\dots$

где $\lfloor x \rfloor$ обозначает целую часть числа $x$.

Для рационального числа $x$ это разложение оборвётся по достижении нулевого $x_n$ для некоторого n. В этом случае $x$ представляется конечной цепной дробью $x = [a_0; a_1, \cdots, a_n]$.

Для иррационального $x$ все величины $x_n$ будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае $x$ представляется бесконечной цепной дробью $x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]$.

Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

Подходящие дроби

n-ой подходящей дробью для цепной дроби $x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]$, называется конечная цепная дробь $[a_0; a_1, \cdots, a_n]$, значение которой равно некоторому рациональному числу $\frac{p_n}{q_n}$. Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен $x$. Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен $x$.

Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:

$p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};$

$q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.$

Таким образом, величины $p_n$ и $q_n$ представляются значениями континуант:

$p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)$

$q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)$

Последовательности $\left\{p_n\right\}$ и $\left\{q_n\right\}$ являются возрастающими.

Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением:

$p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},$

((1))

которое можно переписать в виде

$\frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.$

Откуда следует, что

$\left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| < \frac{1}{q_{n-1}q_n} < \frac{1}{q_{n-1}^2}.$

Приближение вещественных чисел рациональными

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число $x$ разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

$\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.$

Отсюда, в частности, следует:

• подходящая дробь $\frac{p_n}{q_n}$ является наилучшим приближением для $x$ среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит $q_n$;
• мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

Примеры

• Разложим число $\pi$=3,14159265… в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:

  3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Вторая подходящая дробь 22/7 — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь 355/113 была впервые получена в Древнем Китае.

• В теории музыки требуется отыскать рациональное приближение для $\textstyle\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585$. Третья подходящая дробь 7/12 позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов^[1].

Свойства и примеры

• Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби двумя способами, например:

$9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;$

• Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Например:

$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]$

золотое сечение $\phi = [1;1,1,1,\dots]$

• Для алгебраических чисел степени большей 2 характер разложений в непрерывную дробь неизвестен. Например, даже для $\sqrt[3]{2}$ неизвестно, конечно ли количество различных чисел в его разложении (последовательность A002945 в OEIS).
• Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, для основания натурального логарифма:

$e - 1 = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots, 1, 1, 2n-2, 1, 1, 2n, \ldots]$

для числа

$\operatorname{tg}\,1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \ldots, 1, 2n+1, 1, 2n+3, \ldots]$

• У числа пи простой закономерности не видно:^[2]

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]$

• Теорема Гаусса — Кузьмина: Почти для всех (кроме множества меры нуль) вещественных чисел существует среднее геометрическое коэффициентов соответствующих им цепных дробей, и оно равно постоянной Хинчина.
• Теорема Маршалла Холла. Если в разложении числа $x$ в непрерывную дробь, начиная со второго элемента не встречаются числа большие $n$, то говорят, что число $x$ относится к классу $F(n).$ Любое вещественное число может быть представленно в виде суммы двух чисел из класса $F(4)$ и в виде произведения двух чисел из класса $F(4).$^[3] В дальнейшем было показано, что любое вещественное число может быть представленно в виде суммы 3 чисел из класса $F(3)$ и в виде суммы 4 чисел из класса $F(2).$ Количество требуемых слагаемых в этой теореме не может быть уменьшено — для представления некоторых чисел указанным образом меньшего количества слагаемых недостаточно.^[4][5]

Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

$\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots$

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Решение сравнений первой степени

Рассмотрим сравнение: $ax \equiv b \pmod m$, где $a,\ b$ известны, причём можно считать, что $a$ взаимно просто с $m$. Надо найти $x$.

Разложим $\frac{m}{a}$ в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь $\frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}$. Подставим в формулу (1):

$m q_{n-1} - a p_{n-1} = (-1)^{n-1}$

Отсюда вытекает:

$a p_{n-1} \equiv (-1)^n \pmod m$,  или:  $\ a (-1)^n p_{n-1} \equiv 1 \pmod m$

Вывод: класс вычетов $x \equiv (-1)^n p_{n-1} b \pmod m$  является решением исходного сравнения.

Другие приложения

• Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана $\zeta(3)$
• Решение в целых числах уравнения Пелля^[6]: $\;x^2-n y^2=1\;$ и других уравнений диофантова анализа
• Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
• Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.
• Характеристика ортогональных многочленов
• Характеристика стабильных многочленов

Свойства золотого сечения

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Теорема Гурвица^[7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что

$\left| k - {m \over n}\right| < {1 \over n^2 \sqrt 5}.$

Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно ${\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt 5}}$ от φ, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), где a, b, c и d являются целыми числами, причём ad − bc = ±1, обладают тем же свойством, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Историческая справка

Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение $\sqrt{3} \approx \frac {1351}{780}$ — это 12-я подходящая дробь для $\sqrt{3}$ или $\frac {1}{3}$ от 4-й подходящей дроби для $\sqrt{27}$.

В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа $\pi$ (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).

Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.

Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение.

В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.

См. также

• Алгоритм Евклида
• Числа Фибоначчи

Ссылки

• В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
• Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
• Д. И. Боднар Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.
• А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
• И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
• С. Н. Гладковский. Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
• И. Я. Депман. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.
• Г. Дэвенпорт. Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.
• С. В. Сизый. Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• В. Я. Скоробогатько. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
• А. Я. Хинчин. Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.

Примечания

1. ↑ Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
2. ↑ последовательность A001203 в OEIS
3. ↑ M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
4. ↑ B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
5. ↑ T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
6. ↑ Бугаенко В. О. Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
7. ↑ Hardy G. H. Theorem 193 // An Introduction to the Theory of Numbers. — Fifth. — Oxford, 1979.