Непрерывная дробь это:

Непрерывная дробь
        цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида
        
        где a0 — любое целое число, a1, a2,..., an,... — натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число α, можно прийти, записывая это число в виде
        
        где a0 — целое число и 0 < 1/α1 < 1, затем, записывая в таком же виде α1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:
         [а0; a1, a2,..., an,...] (бесконечная Н. д.) (2)
        или
         [а0; а1, a2,..., an] (конечная Н. д.). (3)
         Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы an ≠ 1. Н. д. [а0; a1, a2,..., ak] (k n), записанную в виде несократимой дроби pk/qk, называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:
         pk+1 = ak+1pk + pk-1, qk+1 = ak+1qk + qk-1,
        которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение
         pkqk-1qkpk-1 = ± 1.
         Для каждой бесконечной Н. д. существует предел
         называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением α указанным выше образом, например
        называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением α указанным выше образом, например
         (е — 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];
         квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.
        квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.
         Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа α, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |nα — m| > |gkα — pkl; при этом |qk. — pk| < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше α, а чётные — меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.
         Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа π (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения π в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и π было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа (См. Алгебраическое число) α степени n можно найти такую постоянную λ, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |α — x/y| > λ/уn. С помощью Н. д. можно построить числа α такие, что разность |α — pk/qk| делается меньше α/gk, какую бы постоянную λ мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.
         Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли. В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.
         В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов (См. Ортогональные многочлены).
        
         Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. — Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. — Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. — Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. — К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. — B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto — N. Y. — L., 1948.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Непрерывная дробь" в других словарях:

  • НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ — (цепная дробь) один из важнейших способов изображения чисел. К непрерывной дроби, изображающей некоторое (нецелое) число ?, приходят, записывая это число в виде: ,где a0 целое число и 0 ? 1/?1 1; далее, записывая ?1 в таком же виде: и продолжая… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Непрерывная дробь — Цепная дробь (или непрерывная дробь)  это математическое выражение вида где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или… …   Википедия

  • непрерывная дробь — (цепная дробь), один из важнейших способов изображения чисел. К непрерывной дроби, изображающей некоторое (нецелое) число α, приходят, записывая это число в виде: , где a0  целое число и ; далее, записывая α1 в таком же виде: и продолжая этот… …   Энциклопедический словарь

  • НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ — (цепная дробь), один из важнейших способов изображения чисел. К Н.д., изображающей нек рое (нецелое) число а, приходят, записывая это число в виде: где а0 целое число и 0=< 1/а1<1 далее, записывая а1 в таком же виде: и продолжая этот… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ — то же, что цепная дробь, т. е. выражение вида конечные или бесконечные последовательности комплексных чисел. Для Н. д. употребляется обозначение Обычно предполагается, что последовательности и таковы, что для всех n, 0=<n=<w+1 (Qn… …   Математическая энциклопедия

  • Непрерывная дробь — см. Дроби …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ДРОБЬ — ДРОБЬ, дроби, жен. 1. только ед., собир. Мелкие свинцовые шарики (употр. для стрельбы из охотничьего ружья). В утку попал весь заряд дроби. 2. Число, состоящее из частей единицы (мат.). Правильная дробь (меньше единицы). Неправильная дробь… …   Толковый словарь Ушакова

  • Дробь (в арифметике) — Дробь в арифметике, число, составленное из целого числа долей единицы. Д. изображается символом где m ‒ числитель Д. ‒ показывает число взятых долей единицы, разделённой на столько долей, сколько показывает (знаменует) знаменатель n. Д. можно… …   Большая советская энциклопедия

  • Дробь — I         в арифметике, число, составленное из целого числа долей единицы. Д. изображается символом                  где m числитель Д. показывает число взятых долей единицы, разделённой на столько долей, сколько показывает (знаменует)… …   Большая советская энциклопедия

  • Дробь — В Викисловаре есть статья «дробь» Наименование символа «⁄» (другое, распространённое по большей части в английском языке, название символа  солидус (англ.), или слэш), например, в номерах домов. Так номер дома «5/17» читается «пять… …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»