Уравнение Гельмгольца

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

$(\Delta + k^2)U=f$

где $\Delta = \nabla^2$ — это оператор Лапласа, а неизвестная функция U определена в $\mathbb{R}^n$ (на практике уравнение Гельмгольца применяется для n = 1, 2, 3).

Вывод уравнения

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:

$\triangle u(\bar{x},t) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u(\bar{x},t)}{\partial t^2}=f(\bar{x},t).$

Пусть функции u и f допускают разделение переменных: $u(\bar{x}, t)=U(\bar{x})T(t),\ f(\bar{x},t)=F(\bar{x})T(t)$, и пусть $T(t)=e^{i\omega t}$. Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω. Таким образом, наше уравнение приводится к виду:

$\triangle U(\bar{x}) + \frac{\omega^2}{c^2}U(\bar{x})=F(\bar{x}),$

где $\frac{\omega^2}{c^2}=k^2$ — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения Гельмгольца

Случай однородного уравнения

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса a в полярных координатах (r, φ) уравнение принимает вид:

$U_{rr}+\frac{1}{r}U_r+\frac{1}{r^2}U_{\varphi\varphi}+k^2U=0, \qquad U(a, \varphi)=0.$

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от $\varphi$:

$U(r, \varphi)=R(r)\Phi(\varphi),$

$\frac{\Phi''}{\Phi}=-\lambda^2,$

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

$\displaystyle r^2R''+rR'+R(r^2k^2-\lambda^2)=0.$

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции $\scriptstyle \sin(\lambda\varphi),\ \cos(\lambda\varphi)$ и $\scriptstyle J_\lambda\left (\frac{\mu_i^{(\lambda)}}{a}r\right ),$ где $\mu_i^{(\lambda)}$ — i-й корень функции Бесселя λ-го порядка.

Случай неоднородного уравнения

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

$\triangle U+k^2U=\delta(x).$

Покажем, что в трёхмерном случае ($x=(x_1, x_2, x_3)$) фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

$U_1^{(3)}(x)=-\frac{e^{ik|x|}}{4\pi |x|}, \qquad U_2^{(3)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}.$

В самом деле, воспользуемся равенствами:

$\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{1}{|x|}=-\frac{x_j}{|x|^3}$

$\frac{\partial}{\partial x_j}e^{ik|x|}=\frac{ikx_j}{|x|}e^{ik|x|}$

$\triangle e^{ik|x|}=\left ( \frac{2ik}{|x|}-k^2\right )e^{ik|x|}$

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

$\triangle\frac{1}{|x|}=-\frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(3/2)}\delta(x).$

Получаем:

$(\triangle +k^2)\frac{1}{|x|}e^{ik|x|} =e^{ik|x|}\triangle\frac{1}{|x|}+2\left ( \operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}{|x|}\right )+\frac{1}{|x|}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}e^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left ( -\frac{2ik}{|x|^2}+\frac{2ik}{|x|^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right )e^{ik|x|}=-4\pi\delta(x).$

Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

$U_1^{(2)}=-\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k|x|), \qquad U_2^{(2)}=\frac{i}{4}H_0^{(2)}(k|x|),$

а в одномерном:

$U_1^{(1)}(x)=\frac{e^{ik|x|}}{2ik}, \qquad U_2^{(1)}=-\frac{e^{-ik|x|}}{2ik}.$

Литература

• В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5