Уравнение Ланжевена

Статистическая физика

$S = k_B \, \ln\Omega$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Anyonic statistics Braid statistics Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнатльпи-изобарический Открытый Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

В статистической физике, уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение $\mathbf a$ броуновской частицы массы $m$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы $\mathbf v$ (Закон Стокса), шумового члена $\boldsymbol\eta(t)$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и $\mathbf \Phi (\mathbf x)$ — систематической силы, возникающей при внутримомекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

$m\mathbf{a} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t).$

Решение уравнения

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

$m \ddot x = - \frac {1}{B} \dot x + F(t)$

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

$\langle F(t) \rangle = 0$

$\langle F(t_1) F(t_2) \rangle = b \delta(t_1 - t_2)$

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, $\delta(t_1 - t_2)$ — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

$\dot v = - \lambda v + \frac Fm$

где $\lambda=\frac {1}{mB}$

Пусть в начальный момент времени $t=t_0$ частица имела скорость $v_0$. Будем искать решение в виде: $v(t)=u(t) \exp(-\lambda t)$, тогда для $u(t)$ получим следующее дифференциальное уравение:

$\dot u(t) = \exp(\lambda t) \frac Fm$

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

$v(t) = v_0 \exp(-\lambda t) + \exp(-\lambda t) \int\limits_0^t \frac{F(\tau)}{m}\exp(\lambda \tau)d\tau$

Из него следуют два важных соотношения:

1. $\langle v(t) \rangle = v_0 \exp(-\lambda t)$. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. $\langle v^2(t) \rangle = v_0^2 \exp(-2\lambda t) + \frac{b}{2 \lambda m^2} \left(1-\exp(-2\lambda t)\right)$. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению $\frac{b}{2 \lambda m^2}$. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента $b$:

$b = 2 \frac{k_B T}{B}$

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

$\frac {d\langle x^2(t) \rangle}{dt} = \frac{2}{\lambda}\langle\left( \frac{dx}{dt} \right)^2\rangle$

$\langle \mathbf x^2 \rangle = 6 k_B T B t$

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

$D = k_B T B$

где B — подвижность броуновской частицы.

Ссылки

• W. T. Coffey, Yu P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation