Нётеров модуль

Нётеров модуль

Нётеров мо́дуль (по имени Э. Нётер) — модуль M, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:

Всякая последовательность подмодулей

M1ÌM2Ì…MiÌ… (1)

стабилизируется, то есть начиная с некоторого n Mn=Mn+1=…

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент.

Если M нётеров, то любой подмодуль и любой фактор-модуль M нётеров. Обратно, если подмодуль N и фактор модуль M/N нётеровы, то и сам модуль M нётеров.

Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получим определение т. н. артинова модуля.

Нётеровы модули оказываются более важными, чем артиновы ввиду следующей элементарной, но важной теоремы:

Модуль M нётеров тогда и только тогда, когда любой подмодуль М конечно порождён. Доказать это очень просто. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем элементами x1,x2 xn. Тогда существует некоторый Mk содержащий все эти x и поэтому равный объединению всех Mi. Отсюда Mk=Mk+1=Mk+2… Обратно, если М нётеров и N — его подмодуль, то в множестве всех его конечно порождённых подмодулей N существует максимальный подмодуль N'ÌN. Если N'≠N то взяв xÎN\N' и построив модуль N'+Ax (или N'+xA в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший модуль против предположения. Значит N конечно порождён.

Ассоциативное кольцо А с единичным элементом называется нётеровым, если оно является нётеровым A-модулем (удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Любой конечно порождённый модуль над нётеровым кольцом нётеров (для некоммутативных колец необходимо чтобы кольцу, нётеровому слева, соответствовал левый модуль, аналогично для правых).

Литература

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Нётеров модуль" в других словарях:

  • Модуль — (от лат. modulus  «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо …   Википедия

  • Модуль (значения) — Модуль (от лат. modulus  «маленькая мера»)  составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… …   Википедия

  • НЕТЕРОВ МОДУЛЬ — модуль, любой подмодуль к рого обладает конечной системой образующих. Эквивалентные условия: любая строго возрастающая цепочка подмодулей обрывается на конечном номере; любое непустое множество подмодулей, упорядоченное относительно включения,… …   Математическая энциклопедия

  • АРТИНОВ МОДУЛЬ — модуль, удовлетворяющий условию обрыва убывающих цепей для подмодулей. Класс, А. м. замкнут относительно перехода к подмодулям, фактормодулям, конечным прямым суммам и расширениям. Последнее означает, что артиновость модулей и влечет артиновость… …   Математическая энциклопедия

  • ОБРЫВА ЦЕПЕЙ УСЛОВИЕ — условие конечности возрастающих или убывающих цепей в частично упорядоченном множестве. Условие обрыва убывающих цепей: для всякой цепи элементов частично упорядоченного множества Р найдется такой номер и, что Выполнение этого условия… …   Математическая энциклопедия

  • НЁТЕРОВО КОЛЬЦО — левое (правое) кольцо А, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: 1) А левый (правый) нётеров модуль над собой; 2) любой левый (правый) идеал в Аимеет конечный базис; 3) любая строго возрастающая цепочка левых (правых) идеалов в …   Математическая энциклопедия

  • Нётер, Эмми — Эмми Нётер Amalie Emmy Noether Дата рождения …   Википедия

  • Нетер — Эмми Нётер Амалия Эмми Нётер (нем. Amalie Emmy Noether ; 23 марта 1882, Эрланген, Германия 14 апреля 1935, Брин Мор, Пенсильвания, США) выдающийся немецкий математик, «самая крупная женщина математик, когда либо существовавшая»[1]. Отметим, что… …   Википедия

  • Нетер, Эмма — Эмми Нётер Амалия Эмми Нётер (нем. Amalie Emmy Noether ; 23 марта 1882, Эрланген, Германия 14 апреля 1935, Брин Мор, Пенсильвания, США) выдающийся немецкий математик, «самая крупная женщина математик, когда либо существовавшая»[1]. Отметим, что… …   Википедия

  • Нетер, Эмми — Эмми Нётер Амалия Эмми Нётер (нем. Amalie Emmy Noether ; 23 марта 1882, Эрланген, Германия 14 апреля 1935, Брин Мор, Пенсильвания, США) выдающийся немецкий математик, «самая крупная женщина математик, когда либо существовавшая»[1]. Отметим, что… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»