Артинов модуль

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.

А́ртинов мо́дуль (по имени Э. Артина) — модуль M, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей

Всякая последовательность подмодулей

M₁ÉM₂É…M_iÉ… (1)

стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$

$M_n = M_{n+1} = \ldots$

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей M существует минимальный элемент.

Если M артинов, то любой подмодуль и любой фактор-модуль M артиновы. Обратно, если подмодуль N и фактор модуль M/N артиновы, то и сам модуль M артинов.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение т. н. нётерова модуля.

Ассоциативное кольцо А с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым A-модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов), для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968