Сферическая геометрия

Большой круг всегда делит сферу на две равные половины. Центр большого круга совпадает с центром сферы

Малый круг делит сферу на две неравные части. Центр малого круга не совпадает с центром сферы

Сферический треугольник

Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы. Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии.

Основные понятия

• Большой круг - это круг, который делит шар (сферу) на две равные половины. Центр большого круга всегда совпадает с центром сферы. На глобусе, к примеру, все мередианы являются большими кругами. А вот из параллелей только экватор является большим кругом. Все остальные параллели - это малые круги.

• Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Кратчайший путь между любыми двумя точками пройдёт по линии большого круга.

• Через любые две точки на поверхности сферы, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг. Через диаметрально противоположные точки на сфере можно провести сколько угодно больших кругов.

• Любые два больших круга пересекаются по прямой проходящей через центр сферы, а окружности больших кругов пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

• При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника. Площадь двуугольника определяется формулой $S=2R^2 \alpha$, где $R$ — радиус сферы, а $\alpha$ — угол двуугольника.

• Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.

• Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведёнными к концам данной стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше $2 \pi$. Сумма углов сферического треугольника $s = \alpha + \beta + \gamma$ всегда меньше $3 \pi$ и больше $\pi$. Величина $s-\pi = \varepsilon$ называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара $S=R^2 \varepsilon$.

Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия

Вариации и обобщения

См. Геометрия Римана

Литература

• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 1-146.
• Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в 2 т. М.: Мир, 1984. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. Л.-М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, — Наука, Москва, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, — УРСС, Москва, 2007.

См. также

• Сферическая система координат
• Сферические функции
• Геометрия Римана