Сферические функции

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией.

Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Определение

Вещественные сферические функции Y_lm, l=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Y_l-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение $Y_{l m}(\theta, \varphi)$). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

$\langle Y_{l m}; Y_{l m} \rangle = \iint |Y_{l m}|^2 \sin{\theta}\,d\theta\,d\varphi = 1$

$\langle Y_{l m}; Y_{l' m'} \rangle = \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{\pi} Y^*_{l' m'} Y_{l m} \sin{\theta}\,d\theta \,d\varphi = \delta_{l l'} \delta_{m m'}$,

где ^* обозначает комплексное сопряжение, $\delta_{l l'}$ — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

$Y_{l m}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{i m \varphi} \Theta_{l m}(\theta)$,

где функции $\Theta_{l m}(\theta)$ являются решениями уравнения

$\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d \Theta_{l m}}{d\theta}\right) - \frac{m^2}{\sin^2{\theta}} \Theta_{l m} + l(l+1) \Theta_{l m} = 0$

и имеют вид

$\Theta_{l m} = (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos\theta)$

Здесь $P^m_l (\cos\theta)$ — присоединённые многочлены Лежандра, а $m!$ — факториал.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 — математические дополнения

См. также

• Список сферических функций

Приложения

• SHTOOLS: Fortran 95 software archive
• HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
• SpherePack: Fortran 77 software archive
• SpharmonicKit: C software archive
• Frederik J Simons: Matlab software archive
• NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
• Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
• SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

Ссылки

• Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
• Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
• An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
• Spherical harmonics entry at Citizendium