Сферическая геометрия это:

Сферическая геометрия
        математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.
         Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр О сферы, то в сечении получается так называемый большой круг. Через каждые две точки А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг. Большие круги сферы являются её геодезическими линиями и поэтому в С. г. играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то время как любой отрезок прямой является кратчайшим между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях С. г. также отлична от планиметрии; так, например, в С. г. не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точках.
         Длину отрезка АВ на сфере, то есть дугу AmB (рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим пропорциональным ей центральным углом AOB. Угол ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух больших кругов, измеряют углом A' BC' между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В или двугранным углом, образованным плоскостями OBA и OBC.
         При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S = 2R2A, где R — радиус сферы, А — угол двуугольника, выраженный в радианах.
         Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называют эйлеровыми). Стороны a, b, с сферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла OABC (рис., 5), углы А, В, С треугольника — двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).
         Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию (См. Ориентация). Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники AC' С и BCC' на рис., 6.
         Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2π. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3π и больше π. Разность s π = ε, где s — сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле: S = R2ε, где R — радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферического треугольника см. Сферическая тригонометрия.
         Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис., 7) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра PP' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP', выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые её круги, параллельные экватору,— параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол θ = РОМ (полярное расстояние, в качестве второй — угол φ = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).
         Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения
         θ = f (t), φ = g (t)
        или одно уравнение
         F (θ, φ) = 0
        между координатами θ и φ определяют некоторую линию на сфере. Длина L дуги M1M2 этой линии вычисляется по формуле
        
        где t1 и t2 значения параметра t, соответствующие концам M1 и M2 дуги M1M2 (рис., 8).
        
         Лит.: Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.— М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.
        Рис. к ст. Сферическая геометрия.
        Рис. к ст. Сферическая геометрия.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Сферическая геометрия" в других словарях:

  • СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — область математики, в которой изучаются геометрические фигуры на сфере. Развитие сферической геометрии в античной древности было связано с задачами сферической астрономии …   Большой Энциклопедический словарь

  • Сферическая геометрия — Большой круг всегда делит сферу на две равные половины. Центр большого круга совпадает с центром сферы …   Википедия

  • сферическая геометрия — область математики, в которой изучаются геометрические фигуры на сфере. Развитие сферической геометрии в античной древности было связано с задачами сферической астрономии. * * * СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, область математики, в… …   Энциклопедический словарь

  • СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек рую окружность; если секущая… …   Математическая энциклопедия

  • СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — область математики, в к рой изучаются геом. фигуры на сфере. Развитие С. г. в антич. древности было связано с задачами сферич. астрономии …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Теорема синусов (сферическая геометрия) — Сферическая теорема синусов устанавливает пропорциональность между синусами сторон a, b, c и синусами противолежащих этим сторонам углов A, B, C сферического треугольника: Сферическая теорема синусов является аналогом плоской теоремы синусов и… …   Википедия

  • Теоремы косинусов (сферическая геометрия) — Сферический треугольник. Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника …   Википедия

  • Формула пяти элементов (сферическая геометрия) — Рисунок к формуле пяти элементов и её доказательству с помощью проекций. Формула пяти элементов в сферической тригоно …   Википедия

  • Теорема синусов (Сферическая геометрия) — В сферическом треугольнике со сторонами a, b, c и углами alpha, eta, gamma имеют место соотношения вида:frac{sin a}{sin alpha}=frac{sin b}{sin eta}=frac{sin c}{sin gamma}, известные как сферическая теорема синусов …   Википедия

  • Сумма углов треугольника (сферическая геометрия) — …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Сферическая геометрия» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»