Производящий функционал

Производящий функционал — это расширение понятия производящей функции моментов для одномерного / конечномерного распределения Гаусса на континуальное распределение Гаусса.

Определение

Производящий функционал корреляционных функций $G(A)$ определяется следующим образом:

$G(A) = \langle \exp \left\{ \int\limits_{\Omega} \! \mathrm{d} X \, A_{I}(X) \varphi_{I}(X) \right\} \rangle,$

где $\langle \ldots \rangle$ — усреднение по ансамблю. Без сокращений определение производящего функционала для нормированного на 1 континуального распределения Гаусса с квадратичной формой $K$ выглядит следующим образом:

$G(A) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\}$.

Однако же, обычно это определение записывают в сокращённом виде, опуская значки и интегрирования:

$G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle.$

Связь корреляционных функций с производящим функционалом

Поскольку определение корреляционных функций выглядит следующим образом:

$G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \dots \varphi(X_n) \rangle,$

связь между производящим функционалом и корреляционными фунциями получается:

$G_n(X_1,X_2, \dots X_n) = \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \dots \frac{\delta}{\delta A(X_n)} G (A) \right] _{A=0},$

где $\frac{\delta}{\delta A}$ — вариационная производная. Данная формула является полной аналогией формулы вычисления моментов через производящую функцию моментов для конечномерного распределения Гаусса.

Вычисление корреляционных функций

Для континуальных интегралов выполняется следующая формула:

$\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + \left( A, \varphi \right) \right\} = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\}$.

Видно, что её левая часть — определение (с точностью до нормировки) производящего функционала $G(A)$. Тогда для парной корреляционной функции получим

$G_2(X_1,X_2) = \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{1/2} \cdot \left[ \frac{\delta}{\delta A(X_1)} \frac{\delta}{\delta A(X_2)} \det \left[ \frac{K}{2\pi} \right]^{-1/2} \exp \left\{ \frac{(A, K^{-1} A)}{2} \right\} \right] _{A=0} = K^{-1}(X_1, X_2).$

То есть

$G_2(X_1,X_2) = \langle \varphi(X_1) \varphi(X_2) \rangle = K^{-1}(X_1, X_2).$

Другие виды производящих функционалов

Ясно, что определённый так как приведено выше функционал

$G(A) = \langle e ^{ A \varphi } \rangle$

сохранит производящие свойства и для других распределений не зависящих от параметра $A$. Поскольку существует целый класс физических теорий, плотность распределения $\rho[\varphi]$ в которых задаётся «почти квадратичным» функционалом действия $S[\varphi]$:

$\rho[\varphi] = C \cdot e ^{ - S[\varphi]},$

$S[\varphi] = \frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) + V[\varphi],$

где $V[\varphi]$ — мало, для них определяются собственные производящие функционалы с разным физическим смыслом. Они называются производящими функционалами функций Грина. Среди них: функционал полных функций Грина

$G(A) = \frac{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ - S[\varphi]+ \left( A, \varphi \right) \right\}}{\int \! \mathcal{D}\varphi \, \exp \left\{ -\frac{1}{2} \left( \varphi, K \varphi \right) \right\}},$^[1]

связных функций Грина

$W(A) = \ln G(A),$^[1]

и 1-неприводимых функций Грина

$\Gamma(\alpha) = W(A(\alpha)) - \alpha A, \ \alpha(x) = \frac{\delta W(A)}{\delta A(x)}.$^[2]

Свои названия они получили из-за того, что их разложение согласно теории возмущений по малому параметру (т.н. константе связи) $g \sim V[\varphi]$ в диаграммном представлении состоит для $G(A)$ из всех возможных для данной теории диаграмм, для $W(A)$ только из связных, а для $\Gamma(\alpha)$ только из 1-неприводимых.

Смотри также

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Континуальное распределение Гаусса
• Функциональный интеграл

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Васильев, 1998, с. 139-143
2. ↑ Васильев, 1998, с. 147

Литература

• Васильев А.Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2