Теория Черна

Теория Черна — Саймонса — это трехмерная топологическая квантовая теория поля типа Шварца, предложенная Эдвардом Виттеном. Теории получила такое название, так как её действие пропорционально форме Черна — Саймонса.

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Теория Черна — Саймонса определяется выбором простой группы Ли G, называемой калибровочной группой теории, и числом k, которое входит как множитель в действие и называется уровнем теории. Действие теории зависит от выбора калибровки, но производящая функция квантовой теории поля однозначно определена при целочисленном значении уровня.

Классическая теория

Теория Черна — Саймонса может быть задана на произвольном топологическом 3-многообразии M с границей или без. Так как эта теория типа Шварца, нет необходимости во введении метрики на M.

Теория Черна — Саймонса — это калибровочная теория, то есть классические полевые конфигурации в теории на M с калибровочной группой G описываются главным G-расслоением над M. Форму связности главного G-расслоения над M обозначим через $A:M\to g$, она принимает значения в алгебре Ли g. В общем случае связность A определяется на отдельных картах, значения A на разных картах связаны калибровочными преобразованиями. Калибровочные преобразования характеризуются тем, что ковариантная производная $D=d+A$ преобразуется в присоединенном представлении G.

Тогда действие записывается в виде:

$S=\frac{k}{4\pi}\int_M \mathrm{tr}(A\wedge dA+\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A)$

Введем кривизну связности

$F=DA=dA+A\wedge A\in \Omega^2(M,g)$

Тогда уравнение движения примет вид

$\frac{\delta S}{\delta A}=0=\frac{k}{2\pi}F$

Решениями являются плоские связности, которые определяются голономиями вокруг нестягиваемых циклов на M. Плоские связности находятся в однозначном соответствии с классами эквивалентности гомоморфизмов из фундаментальной группы M в калибровочную группу G.

Хотя действие и зависит от калибровки, производящий функционал в квантовой теории хорошо определен при целом k.

Если у M есть граница $N=\partial M$, то есть дополнительные данные, которые описывают выбор тривиализации главного G-расслоения на N. Такой выбор задает отображение из N в G. Динамика этого отображения описывается WZW-моделью на N с уровнем k.

Рассматрим калибровочное преобразование действия Черна — Саймонса. При калибровочном преобразовании g форма связности A преобразуется как

$A_{\mu}\to g^* A= g^{-1}A_{\mu}g+g^{-1}\partial_{\mu}g$

Для действия Черна — Саймонса имеем

$S(g^* A)=S(A) +\frac{k}{4\pi}\int_{\partial M}\mathrm{Tr} (A\wedge dg \; g^{-1})-2\pi k\int_M g^* \sigma$

Здесь

$\sigma=\frac{1}{24\pi^2} \mathrm{Tr} (\mu\wedge\mu\wedge\mu)$

где $\mu=X^{-1} dX, X\in G$ — форма Маурера — Картана.

Получаем добавку в действие, определенную на границе. Она выглядит как член Весса — Зумино. Из требования калибровочной инвариантности квантовых корреляторов получаем квантование k, так как функциональный интеграл должен быть однозначно определен.

Квантование

При каноническом квантовании теории Черна — Саймонса состояние определяется на каждой двумерной поверхности $\Sigma\subset M$. Как в любой квантовой теории поля, состояния соответствуют лучам в гильбертовом пространстве. Так как мы имеем дело с топологической теорией поля типа Шварца, то у нас нет предопределенного выделенного времени, поэтому $\Sigma$ — произвольная поверхность Коши.

Коразмерность $\Sigma$ равна 1, поэтому можно разрезать $M$ вдоль $\Sigma$ и получить многообразие с границей, на котором классическая динамика описывается моделью Весса — Зумино — Новикова — Виттена. Виттен показал, что это соответствие сохраняется и в квантовой механике. То есть гильбертово пространство состояний всегда конечномерно и может быть отождествлено с пространством конформных блоков $G$-WZW-модели с уровнем $k$. Конформные блоки — это локально голоморфные и антиголоморфные множители, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля.

Например, если $\Sigma=S^2$, то гильбертово пространство одномерно и существует только одно состояние. При $\Sigma=T^2$ состояния соответствуют интегрируемым представлениям уровня $k$ аффинного расширения алгебры Ли $g$. Рассмотрение поверхностей более высокого рода не требуется для решения теории Черна — Саймонса.

Наблюдаемые

Наблюдаемые в теории Черна — Саймонса — это $n$-точечные функции калибровочно-инвариантных операторов, чаще всего рассматривают петли Вильсона. Петля Вильсона — это голономия вокруг кольца в $M$, вычисленная в некотором представлении $R$ группы $G$. Так как мы будем рассматривать произведения петель Вильсона, то мы можем считать представления неприводимыми.

$\langle W_R(K) \rangle =\text{Tr}_R \, P \, \exp{i \oint_K A}$

Здесь $A$- 1-форма связности, мы берем главное значение интеграла по Коши, $P \exp$ — экспонента, упорядоченная вдоль пути.

Рассмотрим зацепление $L$ в $M$, которое представляет собой набор из $l$ несвязных циклов. Особенно интересна $l$-точечная корреляционная функция, представляющая собой произведение петель Вильсона в фундаментальном представлении $G$ вокруг этих циклов. Эту корреляционную функцию можно нормировать, разделив ее на 0-точечную функцию (статсумму $Z$).

Если $M$ — сфера, то такие нормированные функции пропорциональны известным полиномам (инвариантам) узлов. Например, при $G=U(N)$ теория Черна — Саймонса с уровнем $k$ дает

$\frac{\sin(\pi/(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}\times\;\mbox{HOMFLY polynomial}$

При $N=2$ полином HOMFLY переходит в полином Джонса. В случае $SO(N)$ получается полином Кауффмана.

Литература

• S.-S. Chern and J. Simons, Characteristic forms and geometric invariants, Annals Math. 99, 48—69 (1974). (Subscription required for online access)
• Edward Witten, Quantum Field Theory and the Jones Polynomial, Commun.Math.Phys.121:351,1989.
• Edward Witten, Chern-Simons Theory as a String Theory, Prog.Math.133:637-678,1995.
• Marcos Marino, Chern-Simons Theory and Topological Strings, Rev.Mod.Phys.77:675-720,2005.
• Marcos Marino, Chern-Simons Theory, Matrix Models, And Topological Strings (International Series of Monographs on Physics), OUP, 2005.
• Антон Назаров, WZW-модели и теория Черна — Саймонса