Теория возмущений

Тео́рия возмуще́ний включает в себя математические методы, которые используются для нахождения приближенного решения задач, не имеющих точного решения. Теория возмущений применима, если задача может быть сформулирована, добавлением «малых» членов к точно решаемой задаче.

Теория возмущений приводит к выражению для искомого решения в виде формального степенного ряда по степеням некоторого «малого» параметра, называемого «возмущением серии». Главный член в этом степенном ряде соответствует точно решаемой задаче, а дальнейшие члены описывают отклонения в решении в связи с отклонением от исходной задачи. Формальное решение записывается в виде ряда по малому параметру вида:

$A= A_0 + \epsilon^1 A_1 + \epsilon^2 A_2 + \cdots$

В этом примере $\epsilon$ — малый параметр, $A_0$ — известное решение точно решаемой задачи $A_1$, $A_2,$ — «члены высшего порядка», которые можно найти итеративно, используя некоторые систематические процедуры. Для небольших $\epsilon$ члены полученного разложения последовательно уменьшаются. Приближение «возмущенного решения» получается путем усечения ряда. Например, сохраняя только первые два члена, получаем исходное решение и поправку «первого порядка»:

$A \approx A_0 + \epsilon A_1$

Общие положения

Подход в теоретической физике, заключающийся в разложении уравнений движения по какому-либо малому параметру и последующему решению этих уравнений почленно. При этом решения исходного уравнения тоже записываются в виде ряда по этому малому параметру. Вся эта процедура напоминает разложение функции в ряд Тейлора.

Теория возмущений является очень эффективным методом в тех случаях, когда гамильтониан системы сложен (и потому уравнения движения не могут быть решены точно), однако он лишь немногим отличается от некоторого точно решаемого гамильтониана.

Теория возмущений является стандартным методом решения задач в квантовой механике и квантовой теории поля; иногда применяется и при решении задач классической механики.

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

$T_{inst} \sim \exp\left(-{1\over g}\right)$, где g — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке $g = 0$, а потому не может быть разложена в ряд Тейлора.

См. также

• Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Литература

В квантовой механике

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5
• Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.

Инстантонные эффекты

• J.Zinn-Justin and U.D.Jentschura Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions, — Ann.Phys. 313 (2004) 197—267 (quant-ph/0501136).
• J.Zinn-Justin and U.D.Jentschura Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations, — Ann.Phys. 313 (2004) 269—325 (quant-ph/0501137).