Уравнение синус-Гордона

Уравнение синус-Гордона — это нелинейное гиперболическое уравнение в частных производных в 1 + 1 измерениях, включающее в себя оператор Даламбера и синус неизвестной функции. Изначально оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Это уравнение привлекло много внимания в 1970-х из-за наличия у него солитонных решений.

Происхождение уравнения и его названия

Существует две эквивалентные формы уравнения синус-Гордона. В (вещественных) координатах пространство-время, обозначенных (x, t), уравнение имеет вид:

$\, \varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \sin\varphi = 0.$

При переходе к координатам светового конуса (u, v), близким к асимптотическим координатам, где

$u=\frac{x+t}2, \quad v=\frac{x-t}2,$

уравнение принимает вид:

$\varphi_{uv} = \sin\varphi.\,$

Это исходная форма уравнения синус-Гордона, в которой оно было рассмотрено в XIX веке в связи с изучением поверхностей постоянной гауссовой кривизны K = −1, также называемых псевдосферами. Выберем систему координат, в которой координатная сетка u = constant, v = constant задаётся асимптотическими линиями, параметризованными длиной дуги. Первая квадратичная форма данной поверхности в таких координатах примет специальный вид:

$ds^2 = du^2 + 2\cos\varphi \,du\, dv + dv^2,\,$

где φ — угол между асимптотическими линиями, и для второй квадратичной формы, L = N = 0. Тогда уравнение Петерсона ― Кодацци, отражающее условие совместимости между первой и второй квадратичными формами, приводит к уравнению синус-Гордона. Изучение этого уравнения и соответствующих преобразований псевдосфер в XIX веке Бьянки и Бэклундом привели к открытию преобразований Бэклунда. Название «уравнение синус-Гордона» каламбур на тему хорошо известного в физике уравнения Клейна-Гордона:

$\varphi_{tt}- \varphi_{xx} + \varphi\ = 0.\,$

Уравнение синус-Гордона является уравнением Эйлера-Лагранжа для лагранжиана

$\mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) := \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) -1 + \cos\varphi.$

Используя разложение в ряд Тейлора косинуса

$\cos(\varphi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\varphi ^2)^n}{(2n)!}$

в данном лагранжиане, он может быть записан как лагранжиан Клейна-Гордона плюс члены более высокого порядка

$\begin{align} \mathcal{L}_\text{sine–Gordon}(\varphi) & = \frac{1}{2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \frac{\varphi^2}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!} \\ & = 2\mathcal{L}_\text{Klein–Gordon}(\varphi) + \sum_{n=2}^\infty \frac{(-\varphi^2)^n}{(2n)!}. \end{align}$

Солитонные решения

Интересное свойство уравнения синус-Гордона — существование солитонных и многосолитонных решений.

Односолитонное решение

Уравнение синус-Гордона имеет следующие односолитонные решения:

$\varphi_\text{soliton}(x, t) := 4 \arctan e^{m \gamma (x - v t) + \delta}\,$

где

$\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2}.$

односолитонное решение, для которого мы выбрали положительный корень для $\gamma$, называется кинк и представляет виток по переменной $\varphi$ , который переводит одно решение $\varphi=0$ в смежное $\varphi=2\pi$. Состояния $\varphi=0(\textrm{mod}2\pi)$ известны как вакуумные, так как они постоянные решения нулевой энергии. Односолитонное решение, в котором мы взяли отрицательный корень для $\gamma$, называется антикинк. Форма односолитонных решений может быть получена посредством применения преобразования Бэклунда к тривиальному (постоянному вакуумному) решению и интегрированию получившихся дифференциальных уравнений первого порядка:

${\varphi^\prime}_u = \varphi_u + 2\beta\sin\left(\frac{\varphi^\prime + \varphi}{2}\right),$

${\varphi^\prime}_v = -\varphi_v + \frac{2}{\beta} \sin\left(\frac{\varphi^\prime - \varphi}{2}\right)\text{ with }\varphi = \varphi_0 = 0$

Оодносолитонные решения могут быть визуализированы посредством синус-гордоновской модели упругой ленты.^[1] Примем виток упругой ленты по часовой стрелке (левовинтовой) за кинк с топологическим зарядом $\vartheta_{\textrm{K}}=-1$. Альтернативный виток против часовой стрелки (правовинтовой) с топологическим зарядом $\vartheta_{\textrm{AK}}=+1$ будет антикинком.

Двухсолитонные решения

Многосолитонные решения могут быть получены посредством непрерывного применения преобразования Бэклунда к односолитонному решению, как предписывается решёткой Бьянки, соответствующей результатам преобразования.^[2] 2-солитонные решения уравнения синус-Гордона проявляют некоторые характерные свойства солитонов. Бегущие синус-гордоновские кинки и/или антикинки проходят сквозь друг друга как полностью проницаемые, и единственный наблюдаемый эффект — фазовый сдвиг. Так как сталкивающиеся солитоны сохраняют свою скорость и форму, такой вид взаимодействия называется упругим столкновением.

Другие интересные двухсолитонные решения возникают из возможности спаренного кинк-антикинкового поведения, известного как бризер. Известно три типа бризеров: стоячий бризер, бегущий высокоамплитудный бризер и бегущий малоамплитудный бризер.^[3]

Трёхсолитонные решения

Трёхсолитонные столкновения между бегущим кинком и стоячим бризером или бегущим антикинком и стоячим бризером приводят к фазовому сдвигу стоячего бризера. В процессе столкновения между движущимся кинком и стоячим бризером сдвиг последнего $\Delta_{\textrm{B}}$ даётся соотношением:

$\Delta_B =\frac{2\textrm{arctanh}\sqrt{(1-\omega^{2})(1-v_\text{K}^2)}}{\sqrt{1-\omega^{2}}}$

где $v_\text{K}$ — скорость кинка, а $\omega$ — частота бризера.^[3] Если координата стоячего бризера до столкновения — $x_{0}$, то после столкновения она станет $x_0 + \Delta_\text{B}$.

Связанные уравнения

Уранение шинус-Гордона:

$\varphi_{xx}- \varphi_{tt} = \sinh\varphi.\,$

Это уравнения Эйлера — Лагранжа для лагранжиана

$\mathcal{L}={1\over 2}(\varphi_t^2 - \varphi_x^2) - \cosh\varphi.\,$

Другое тесно связанное с уравнением синус-Гордона — это эллиптическое уравнение синус-Гордона:

$\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = \sin\varphi,\,$

где $\varphi$ — функция переменных x и y. Это уже не солитонное уравнение, но оно имеет много похожих свойств, так как оно связано с уравнением синус-Гордона аналитическим продолжением (или поворотом Вика) y = it.

Эллиптическое уранение шинус-Гордона может быть определено аналогичным образом. Обобщение даётся теорией поля Тоды.

Квантовая версия

В квантовой теории поля модель синус-Гордона содержит параметр, который может быть отождествлён с постоянной Планка. Спектр частиц состоит из солитона, антисолитона и конечного (возможно, нулевого) числа бризеров. Число бризеров зависит от данного параметра. Множественные рождения частиц сокращаются на уравнениях движения. Квазиклассическое квантование модели синус-Гордона было осуществлено Людвигом Фаддеевым и Владимиром Корепиным, см. Physics Reports том 42(1), стр. 1-87, июнь 1978. Точная квантовая матрица рассеяния была открыта Александром Замолодчиковым. Данная модель s-дуальна модели Тирринга.

В конечном объёме и на луче

Также рассматривают модель синус-Гордона на круге, отрезке прямой или луче. Возможно подобрать граничные условия, которые сохраняют интегрируемость данной модели. На луче спектр частиц содержит пограничные состояния кроме солитонов и бризеров.

Суперсимметричная модель синуса-Гордона

Суперсимметричный аналог модели синус-Гордона также существует. С таким же успехом для него могут быть найдены сохраняющие интегрируемость граничные условия.

Примечания

1. ↑ Dodd RK, Eilbeck JC, Gibbon JD, Morris HC. Solitons and Nonlinear Wave Equations. Academic Press, London, 1982.
2. ↑ Rogers C, Schief WK. Bäcklund and Darboux Transformations'.' New York: Cambridge University Press, 2002.
3. ↑ ^{1 2} Miroshnichenko A, Vasiliev A, Dmitriev S. Solitons and Soliton Collisions.

Ссылки

• Polyanin AD, Zaitsev VF. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2004.
• Rajaraman R. Solitons and instantons. North-Holland Personal Library, 1989.