Лемма Адамара

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара.

Пусть $f: \R^n\to\R$ — функция класса $\,C^{r}$, где $r \ge 1$, определенная в выпуклой окрестности $U$ точки $0$. Тогда существуют такие функции $g_1, \ldots, g_n: \R^n\to\R$ класса $\,C^{r-1}$, определенные в $U$, что для всех $x=(x_1, \ldots, x_n)\in U$ имеет место равенство $f(x_1, \ldots, x_n) = f(0) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x_1, \ldots, x_n), \ \quad g_i(0)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0).$

Если функция $f$ — аналитическая, то и функции $g_1, \ldots, g_n$ в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменых играет роль параметров.

Пусть $f(x,y): \R^n \times \R^m \to\R$ — функция класса $\,C^{r}$, где $r \ge 1$, определенная в выпуклой окрестности $U$ точки $0$, при этом $x=(x_1, \ldots, x_n)$ и $y=(y_1, \ldots, y_m)$. Тогда существуют такие функции $g_1(x,y), \ldots, g_n(x,y): \R^n \times \R^m \to\R$ класса $\,C^{r-1}$, определенные в $U$, что для всех $(x,y)\in U$ имеет место равенство $f(x,y) = f(0,y) + \sum_{i=1}^{n} x_i\,g_i(x,y), \ \quad g_i(0,y)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(0,y).$

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(tx,y) = f(tx_1,\ldots,tx_n, y_1,\ldots,y_m)$, где $t$ — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть $t$ пробегает значения из отрезка $[0,1]$, тогда функция $\,f(tx,y)$, рассматриваемая как функция $\R^{n+m} \to \R$ при каждом фиксированном значении параметра $t$, пробегает в пространстве функций от $n+m$ переменных некоторую кривую с концами $\,f(0,y)$ и $\,f(x,y)$.

Рассматривая $\,f(tx,y)$ как функцию переменной $t$, зависящую от параметров $x \in R^n$ и $y \in R^m$, и применяя формулу Ньютона—Лейбница, можно записать:

$f(x,y) - f(0,y) = \int_{0}^{1} \frac{d f(tx,y)}{dt}\,dt = \int_{0}^{1} \sum_{i=1}^{n} x_i \,\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt = \sum_{i=1}^{n} x_i g_i(x,y),$

где

$g_i(x,y) := \int_{0}^{1} \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx,y)\, dt.$

Требуемая гладкость функций $g_i(x,y)\,$ следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения

Лемма Адамара позволяет получит ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.

• С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.

• Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции $f(x,y_1, \ldots, y_m)$ обращается в нуль на гиперплоскости $\,x=0$, то он представим в виде $f=x\,g(x,y_1, \ldots, y_m),$ где $\,g$ — некоторая гладкая функция.

• Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции $f(x,y_1, \ldots, y_m)$ имеет место представление $f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,g(x,y_1, \ldots, y_m),$ где $f_0=f(0,y_1, \ldots, y_m)$ и $\,g$ — гладкие функции.

• Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

$f= f_0(y_1, \ldots, y_m) + x\,f_1(y_1, \ldots, y_m) + \cdots+ x^n\,f_n(y_1, \ldots, y_m) + x^{n+1}\,g(x,y_1, \ldots, y_m),$

где $f_i(y_1, \ldots, y_m)$ и $\,g$ — гладкие функции и $\,n$ — произвольное натуральное число.

См. также

• Формула Тейлора
• Лемма Морса

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.