Неравенство Адамара

В математике нера́венство Адама́ра, названное в честь Жака Адамара, определяет верхнюю границу объёма тела в $n$-мерном евклидовом пространстве, заданного $n$ векторами.

Формулировка

Пусть $v_i\in\R^n,\;i=1,\;2,\;\ldots,\;n$, а $M$ — матрица, столбцами которой являются векторы $v_i:i=1,\;2,\;\ldots,\;n$. Тогда

$|\det(M)|\leqslant\prod_{i=1}^n{||v_i||}_2,$

где ${||\cdot||}_2$ — евклидова норма вектора.

Другими словами, с точки зрения геометрии объём $n$-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны.

Лемма

Докажем сначала небольшую лемму:

Если матрица $A$ размерности $n\times n$ положительно определённая, то

$|A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.$

Доказательство леммы

Определитель $|A|$ можно представить в виде

$|A|=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ a_{32} & \ldots & a_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.$

Так как $A$ положительно определённая, то и матрица, которая является первым слагаемым в сумме, тоже положительно определённая, следовательно, квадратичная форма по переменным $a_{12},\;a_{13},\;\ldots,\;a_{1n}$, каковой является второе слагаемое, отрицательно определённая. В силу этого

$|A|\leqslant a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ a_{32} & \ldots & a_{3n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}.$

Отсюда, применяя индукцию, получаем требуемый результат.

Доказательство неравенства Адамара

Для доказательства неравенства Адамара нужно применить доказанную лемму к положительно определённой квадратной матрице вида $A=BB^t$.

Матрицы, определители которых достигают границы Адамара

В комбинаторикe матрицы с элементами из $\{+1,\;-1\}$, для которых в неравенстве Адамара выполняется равенство, называются матрицами Адамара. Таким образом, определитель таких матриц по модулю равен $n^{\frac{n}{2}}$. Из таких матриц получают коды Адамара.

Литература

• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Göttingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.

См. также

• Граница Плоткина