Число (матем.)

см. также: Число (лингвистика)

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается $\mathbb{N}$. Т.о. $\mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, ...\right\}$ (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть $\mathbb{N}=\left\{0, 1, 2, 3, ...\right\}$). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются $\mathbb{Z}=\left\{...-2, -1, 0, 1, 2, ...\right\}$. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m и n — целые числа. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак $\mathbb{Q}$.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается $\mathbb{R}$. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, $\mathbb{R}$ включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа $\mathbb{C}$, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

Обобщения чисел

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается $\mathbb{H}$. Кватернионы в отличии от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы $\mathbb{O}$, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы $\mathbb{S}$ не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщенных чисел справедливо следующее выражение: $\mathbb{C}\subset \mathbb{H}\subset \mathbb{O}\subset \mathbb{S}$

p-адические числа $\Q_p$ можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ при помощи т.н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел $\mathbb{R}$ определяется как его пополненние при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a_∞,a₂,a₃,...a_p...}, где a_∞ — любое действительное число, а a_p — p-адическое, причём все a_p, кроме, может быть, конечного их числа являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r,r,...r,...}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями

Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления целого положительного числа х в памяти компьютера, оно переводится в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичной системе счисления х₂ представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа х₁₀. Для записи отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера (в вычислительной технике для их обозначения используется термин число с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Так, лишь некоторые из действительных чисел могут быть без потерь точности представлены в памяти компьютера. В наиболее распространённой схеме число с плавающей запятой записывается в виде блока битов часть из которых представляют собой мантиссу числа, часть — степень, а один бит выделяется для представления знака числа (в случае необходимости знаковый бит может отсутствовать).

См. также

• Числа
• Числа с собственными именами
• Системы наименования чисел
• Обратное число
• Системы счисления

Литература

• А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.
• Л. С. Понтрягин, Обобщения чисел, серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1965.
• Л. Я. Жмудь. «Все есть число»? (К интерпретации «основной доктрины» пифагореизма) // Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.
• И. В. Карасев, "Тайны квадрата Пифагора («Вначале было число»)

Ссылки

• vokrugsveta.ru Какое число самое большое?

Числа

натуральные | целые | рациональные | вещественные | p-адические
иррациональные | алгебраические | трансцендентные
комплексные | дуальные | двойные
кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные