Равномерно непрерывная функция

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Определения

• Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho_X)$ и $(Y,\varrho_Y).$ Функция $f\colon X \to Y$ называется равноме́рно непреры́вной на подмножестве $M \subset X,$ если

  $\forall \epsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\epsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \epsilon\bigr).$

• В частности, вещественнозначная функция действительного переменного $f:M \subset \R \to \R$ равномерно непрерывна, если

  $\forall \epsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\epsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon\bigr).$

Замечание

Выбор δ в определении равномерной непрерывности зависит от ε, но не от x₁,x₂.

Свойства

• Функция, равномерно непрерывная на множестве M, непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, функция

$f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как при любом $\varepsilon>0$ можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на $\varepsilon.$ Другой пример: функция

$f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)$

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

$\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.$

Для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать отрезок сколь угодно малой длины $\varepsilon/x$ такой, что разница значений функции f(x) = x² на концах отрезка будет больше $\varepsilon.$ В частности, на отрезке $\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)$ разница значений функции стремится к $2\varepsilon.$

• (Теорема Кантора — Гейне) Функция, непрерывная на компактном подмножестве $K\subset X,$ равномерно непрерывна на нём. В частности если $f\in C\bigl([a,b]\bigr),$ то она равномерно непрерывна на [a,b].
• Пусть $f\colon X \to Y$ суть равномерно непрерывное отображение, и $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность Коши в X. Тогда $\bigl\{f(x_n)\bigr\}_{n=1}^{\infty}$ — последовательность Коши в Y.
• Любое липшицево отображение равномерно непрерывно.

См. также

• Модуль непрерывности;
• Равностепенная непрерывность.