Равномерно темперированный звукоряд

Темпери́рованный строй — строй, при котором каждая октава делится на набор одинаковых ступеней. Чаще всего деление происходит на двенадцать ступеней, отстоящих друг от друга на расстоянии хроматического полутона ($1:\sqrt[12]{2}$). Такой строй господствует в западной музыке с XIX века.

Существуют и другие темперированные строи, или равномерные темперации (РТ). В восточной музыке встречается 24-тоновая РТ (24-тРТ). Индийская музыка основана на строях, близких к 22-тРТ. Некоторая музыка была написана в 19-тРТ, 31-тРТ и даже 53-тРТ. Когда же говорят просто «равномерная темперация», без уточнений, это понимается, как 12-тРТ.

Равномерные темперации могут также делить иной интервал, не только октаву, на целое число равных ступеней. Чтобы избежать неясности, предложен термин «равные деления октавы», или РДО. Согласно этой системе 12-тРТ переименовывается в 12РДО, 19-тРТ в 19РДО, и так далее.

История

12-ступенный равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков музыкальными теоретиками идеального строя. Исторически предшествующий натуральный строй имел ряд недостатков, которые исчезали с введением равномерной темперации. Исчезала комма. Появилась возможность сочинять музыку в разных тональностях, не боясь волчьих квинт.

У нового строя было много оппонентов. Новый строй нарушал строгую пропорцию интервалов, как следствие, в аккордах начали появляться небольшие биения. В глазах многих теоретиков это было посягательством на чистоту музыки. Андреас Веркмейстер утверждал, что в новом строе все тональности становились однообразными и симметричными, в то время как в старых строях из-за неравномерности темперации каждая тональность имела своё неповторимое звучание.

В качестве одного из аргументов дискуссии интересен «Хорошо темперированный клавир» И. С. Баха, сборник прелюдий и фуг во всех возможных тональностях.

Со временем равномерная темперация завоевала признание и стала фактическим стандартом.

Вычисление частот звуков

Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда пользуясь формулой:

$f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12}$,

Где f₀ — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону f₀. Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию

Например, можно вычислить звук на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля:

i = − 2

$f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx {391,995}\,\mathrm{Hz}$

Получим соль. Если нам надо вычислить ноту соль, но на октаву выше (12 полутонов)

i = 12 − 2 = 10

$f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx {783,991}\,\mathrm{Hz}$

Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву. Преимущества равномерной темперации также в том, что можно произвольно транспонировать пьесу на любой интервал вверх или вниз, и она не потеряет гармонии.

Сравнение с натуральным строем

Равномерно темперированный строй очень легко можно отобразить в виде измерения интервалов в центах

Тон	C1	C#	D	Eb	E	F	F#	G	G#	A	B	H	C2
Цент (музыка)	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Следующая таблица показывает отличия интервалов равномерно-темперированного ряда с натуральным

Интервал	Равномерно темперированные интервалы	Натуральные интервалы	Разница в центах
Прима	$\sqrt[12]{2^0} = 1 = 0\,\mathrm{Cent}$	$\frac{1}{1} = 1 = 0\,\mathrm{Cent}$	0
Малая секунда	$\sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463 = 100\,\mathrm{Cent}$	$\frac{16}{15} \approx 1{,}066667 \approx 111{,}73\,\mathrm{Cent}$	−11,73
Большая секунда	$\sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2} \approx 1{,}122462 = 200\,\mathrm{Cent}$	$\frac{9}{8} = 1{,}125 \approx 203{,}91\,\mathrm{Cent}$	−3,91
Малая терция	$\sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}189207 = 300\,\mathrm{Cent}$	$\frac{6}{5} = 1{,}2 \approx 315{,}64\,\mathrm{Cent}$	−15,64
Большая терция	$\sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921 = 400\,\mathrm{Cent}$	$\frac{5}{4} = 1{,}25 \approx 386{,}31\,\mathrm{Cent}$	13,69
Кварта	$\sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32} \approx 1{,}334840 = 500\,\mathrm{Cent}$	$\frac{4}{3} \approx 1{,}333333 \approx 498{,}04\,\mathrm{Cent}$	1,96
Тритон	$\sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2} \approx 1{,}414214 = 600\,\mathrm{Cent}$	$\frac{45}{32} \approx 1{,}406250 \approx 590{,}22\,\mathrm{Cent}$	9,78
Квинта	$\sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128} \approx 1{,}498307 = 700\,\mathrm{Cent}$	$\frac{3}{2} = 1{,}5 \approx 701{,}96\,\mathrm{Cent}$	−1,96
Малая секста	$\sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587401 = 800\,\mathrm{Cent}$	$\frac{8}{5} = 1{,}6 \approx 813{,}69\,\mathrm{Cent}$	−13,69
Большая секста	$\sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8} \approx 1{,}681793 = 900\,\mathrm{Cent}$	$\frac{5}{3} \approx 1{,}666667 \approx 884{,}36\,\mathrm{Cent}$	15,64
Малая септима	$\sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32} \approx 1{,}781797 = 1000\,\mathrm{Cent}$	$\frac{16}{9} \approx 1{,}777778 \approx 996{,}09\,\mathrm{Cent}$	3,91
Большая септима	$\sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048} \approx 1{,}887749 = 1100\,\mathrm{Cent}$	$\frac{15}{8} = 1{,}875 \approx 1088{,}27\,\mathrm{Cent}$	11,73
Октава	$\sqrt[12]{2^{12}} = 2 = 1200\,\mathrm{Cent}$	$\frac{16}{8} = 2 = 1200\,\mathrm{Cent}$	0