- Теорема Кантора — Гейне
-
Теорема Кантора — Гейне
Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём.
Формулировка
Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество и определённая на нём непрерывная функция Тогда f равномерно непрерывна на K.
Воспользуемся доказательством от противного.
Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое , что для всех δ > 0 существуют такие x и y, расстояние между которыми меньше δ, но расстояние между их образами не менее :
- но
Возьмём последовательность {δk}, сходящуюся к 0, например, . Построим последовательности xk и yk так, чтобы
- , тогда
A — компакт, поэтому можно выделить сходящиеся последовательности:
Но так как расстояние между ними стремится к нулю, по лемме о вложенных отрезках они стремятся к одной точке: . И, так как f непрерывна , что противоречит предположению, что .
Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.
Замечания
- В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
- В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.
Wikimedia Foundation. 2010.
Теорема Кантора (значения) — Теорема Кантора: Теорема Кантора о множестве подмножеств в теории множеств Теорема Кантора Бендиксона Теорема Кантора Бернштейна Теорема Кантора Гейне … Википедия
Теорема Кантора-Гейне — … Википедия
Теорема Кантора—Гейне — … Википедия
Теорема Сарда — Теорема Сарда одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории теории катастроф и теории динамических систем.[1] Названа в честь американского математика Артура Сарда.[2] В некоторых источниках называется теоремой… … Википедия
Гейне, Эдуард — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Гейне (значения). Генрих Эдуард Гейне … Википедия
Теорема Больцано — Вейерштрасса — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… … Википедия
Теорема Больцано — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… … Википедия
КАНТОРА ТЕОРЕМА — 1) Множество 2A, состоящее из всех подмножеств множества А, не равномощно ни самому А, ни его подмножеству. Идея доказательства этой теоремы, принадлежащая Г. Кантору (G.Cantor, 1878), получила название канторова диагонального метода и играет… … Математическая энциклопедия
Эдуард Гейне — Генрих Эдуард Гейне (15 марта 1821, Берлин, Германия 21 октября 1881, Галле, Германия), немецкий математик. Гейне изучал математику в Гёттингенском университете, университете им. Гумбольдта в Берлине и в Альбертине в Кёнигсберге (сегодня… … Википедия
Лемма Гейне — Бореля — Леммой Гейне Бореля [1], а также леммой Бореля Лебега [2] называется следующий факт, играющий фундаментальную роль в анализе: Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также… … Википедия