Полином Джонса

Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t^1/2 с целыми коэффициентами.

Определение через скобку Кауффмана

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен $X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle$, где $w(L)$ — число закрученности диаграммы $L$, а $\langle L \rangle$ — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков ($L_{+}$ на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, ($L_{-}$ на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда $X(L)$ будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы $L$. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на $-A^{\pm 3}$, что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности $w(L)$.

Теперь, выполняя подстановку $A = t^{-1/4}$ в $X(L)$, мы получаем искомый многочлен Джонса $V(L)$. Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной $t^{1/2}$.

С помощью этого определения несложно проверить, что зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t^-1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром.

Определение через представления группы кос

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Определение через скейн-соотношения

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующими скейн-соотношениями:

$(t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}). \,$

Здесь $L_{+}$, $L_{-}$, и $L_{0}$ это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Связь с теорией Черна-Саймонса

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

См. также

• Полином Александера
• Полином HOMFLY
• Инвариант Васильева

Ссылки

• В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский, Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, М.: МЦНМО, 1997.