ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС это:

ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС

однородный гауссов-ский процесс X(t) с независимыми приращениями. В. п. служит одной из математич. моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием В. п. может быть превращен в "стандартный" В. п. , , для к-рого


при таких средних значениях и дисперсиях приращений это единственный непрерывный с вероятностью 1 процесс с независимыми приращениями. Ниже под В. п. будет пониматься именно этот процесс.

В. п. определяется также как гаус-совский случайный процесс с нулевым математич. ожиданием и корреляционной функцией


В. п. может быть определен как однородный марковский процесс с переходной функцией


где переходная плотность есть фундаментальное решение параболического дифференциального уравнения


и описывается формулой


Переходная функция инвариантна относительно преобразований сдвига в фазовом пространстве:


где Г - уобозначает множество

В. п. является непрерывным аналогом случайного блуждания частицы, к-рая в дискретные моменты времени (кратные ) в результате случайного воздействия каждый раз независимо от предшествующих обстоятельств смещается на величину точнее, если при


- случайная траектория движения такой частицы на отрезке [0, 1] (здесь - целая часть nt, при ), а - соответствующее распределение вероятностей в пространстве непрерывных функций то распределение вероятностей траектории В. п. является предельным (в смысле слабой сходимости) для распределений

Как функция со значениями в гильбертовом пространстве . всех случайных величин в к-ром скалярное произведение определено формулой


В. п. допускает следующее каноническое представление:


где - независимые гауссовские величины:


- собственные функции оператора В, определенного формулой:


в гильбертовом пространстве всех интегрируемых с квадратом (относительно лебеговской меры) функций на отрезке [0, 1].

Для почти всех траекторий В. п, имеют место следующие соотношения:


- закон повторного логарифма;


что характеризует модуль непрерывности на отрезке ;


В применении к В. п. вида


закон повторного логарифма записывается в форме:


Характер смещения броуновской частицы за конечное время tможет быть описан с помощью распределения вероятностей максимума :


фиксировано, а также с помощью распределения времени т первого достижения броуновской частицей фиксированной точки


фиксировано, (закономерности В. п. остаются без изменения при преобразовании фазового пространства ). Совместное распределение точки максимума и самого максимума шах имеет плотность вероятности


а отдельно взятая точка (с вероятностью 1 имеется лишь один максимум на отрезке ) распределена по арксинуса закону.


с плотностью вероятности


Из приведенных выше формул легко выводятся следующие характерные свойства В. п. Броуновская траектория является нигде не дифференцируемой, причем при выходе из к.-л. точки хэта траектория за сколь угодно малое время с вероятностью 1 бесконечно много раз пересекает "уровень" х(возвращаясь в исходную точку); с течением времени tброуновская траектория обходит все точки х, точнее , с вероятностью 1 (при этом вероятное значение для больших химеет порядок x2); рассматриваемая на фиксированном отрезке [0, t], эта траектория имеет тенденцию достигать экстремальных значений вблизи концевых точек s=0 и s=t.

Для В. п. как марковского однородного процесса существует инвариантная мера :


к-рая в силу упомянутого выше свойства инвариантности переходной функции совпадает с лебеговской мерой на прямой: Время , проведенное броуновской частицей в множестве Аза промежуток от 0 до Т, таково, что с вероятностью 1


для любых ограниченных борелевских множеств .

Аналогом В. п. для векторного параметра являются случайные поля, введенные П. Леви (P. Levy, см. [31).

Лит.:[1] Ито К., Маккий Г., Диффузионные процессы и их траектории, пер. с англ., М., 1968; [2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] Levy P., Prossesus stochastiques et mouve'ment brownien, 2 ed., P., 1965; [4] Павлов В. П., Броуновское движение, в кн.: БСЭ, 3 изд., т. 4.

Ю. А. Розанов,


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС" в других словарях:

  • Винеровский процесс — в теории случайных процессов это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем. Содержание 1 Определение 2 Физический смысл …   Википедия

  • Винеровский процесс — 43. Винеровский процесс Источник: ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Процесс с независимыми приращениями — в теории случайных процессов  это обобщение понятия суммы независимых случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Свойства …   Википедия

  • ОРНШТЕЙНА - УЛЕНБЕКА ПРОЦЕСС — гауссовский стационарный случайный процесс V(t).с нулевым математич. ожиданием и экспоненциально затухающей корреляционной функцией вида О. У. п. может быть также определен как стационарное решение стохастич. уравнения (уравнения Ланжевена) вида… …   Математическая энциклопедия

  • ИТО ПРОЦЕСС — случайный процесс, имеющий стохастический дифференциал. Точнее, непрерывный случайный процесс Xt, заданный на вероятностном пространстве (W, F, Р) с нек рым неубывающим семейством {Ft}s подалгебр событий W, наз. процессом И т о по отношению к… …   Математическая энциклопедия

  • Гауссовский процесс — в теории случайных процессов это вещественный процесс, чьи конечномерные распределения гауссовские. Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Примеры …   Википедия

  • СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс X(t)с дискретным или непрерывным временем tтакой, что статистич. характеристики его приращений нек рого фиксированного порядка не меняются во времени (т. е. инвариантны относительно временных сдвигов ). Как и в случае… …   Математическая энциклопедия

  • Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) B(t), когда начальная и конечная точки совпадают: B(0) = B(1) = 0. Стандартный винеровский процесс привязан в начальной точке W(0) = 0, но имеет свободный… …   Википедия

  • ГОСТ 21878-76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения — Терминология ГОСТ 21878 76: Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения оригинал документа: Cross power spectral density function of stationary dependent random processes Определения термина из разных документов: Cross power… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — для процесса по винеровскому процессу уравнение вида где a(t, X )и b(t, X) неупреждающие функционалы, а случайная величина играет роль начального значения. Различают два понятия решения С. д. у. сильное и слабое. Пусть вероятностное пространство… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»