Броуновский мост

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) B(t), когда начальная и конечная точки совпадают: B(0) = B(1) = 0. Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке W(0) = 0, но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале B(0) = 0, и в конце B(1) = 0.

Свойства

Броуновский мост имеет среднее ${E}\left[t\right] = 0$ и дисперсию $\mathrm{D}\left[t\right] = t(1-t)$, что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация ${Cov}\left[B_s,B_t\right] = s(1-t)$, где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост

$B\left(t\right) = W(t) - t \cdot W(1)$

В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс

$W(t) = B\left(t\right) + tZ$

будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

$W(t) = B(\frac{t}{T}) + \frac{t}{\sqrt{T}} Z$

Броуновский мост является следствием англ. Donsker's theorem применительно к эмпирическим процессам (англ. empirical process). Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Общий случай

В общем случае B(t₁) = a и B(t₂) = b. Тогда

$B(t) \sim N\left(a + \frac{t-t_1}{t_2-t_1}(b-a), \frac{(t-t_1)(t_2-t)}{t_2-t_1}\right)$

при t ∈ (t₁, t₂)

Замечание

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также

• Гауссовский процесс
• Винеровский процесс
• англ. Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ISBN 0-387-00451-3, Springer-Verlag New York, 2004