ЭЙЛЕРА - МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА
- ЭЙЛЕРА - МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА
формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:
где 
- Бернулли числа, Rn - остаточный член. С помощью Бернулли многочленов Bn(t), В n(0)=В п остаточный член записывается в виде:
Для n=2sостаточный член R2s может быть представлен с использованием чисел Бернулли:
Если производные 
и 
имеют одинаковые знаки и не меняют знака на [ р, т],то
Если, кроме того,
то Э.-М. ф. может быть записана в виде:
В такой форме Э. - М. ф. применяется, напр., при выводе Стирлинга формулы. В этом случае 
и с - Эйлера постоянная. Имеются обобщения Э. - М. ф. на случай кратных сумм.
Э.-М. ф. применяется для приближенного вычисления определенных интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Напр., при т=1, р=0, п=2т+1, 
Э.-М. ф. дает следующее выражение:
Э.-М. ф. играет важную роль при изучении асимптотич. разложений, в теоретико-числовых оценках, в конечных разностей исчислении.
Э.-М. ф. иногда применяется в виде:
Э.-М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером [1] в виде:
где S - сумма первых членов ряда с общим членом t(п), S=t=0 при n=0, а коэффициенты определяются рекуррентными соотношениями:
Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном [2].
Лит.:[1] Еnlеr L., лComment Acad. sci. Imp. Petrop.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ЭЙЛЕРА - МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА" в других словарях:
Эйлера-Маклорена формула — формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена: где Bv Бернулли числа, Rn остаточный член. Э. М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для… … Большая советская энциклопедия
Эйлера формулы — в математике, важнейшие формулы, установленные Л. Эйлером. 1) Э. ф., связывающие тригонометрические функции с показательной (1743): eix = cos х + i sin х, , 2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в… … Большая советская энциклопедия
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — приближенная формула для вычисления определенного интеграла: в левой части стоит интеграл, подлежащий вычислению. Подинтегральная функция записана в виде произведения двух функций. Первая из них р(х)считается фиксированной для данной К. ф. и наз … Математическая энциклопедия
Эйлер — I Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой… … Большая советская энциклопедия
Эйлер Леонард — Эйлер (Euler) Леонард [4(15).4.1707, Базель, Швейцария, ‒ 7(18).9.1783, Петербург], математик, механик и физик. Род. в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование получил сначала у отца (который в молодости занимался математикой под рук. Я … Большая советская энциклопедия
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в к ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h постоянная, к целое).… … Математическая энциклопедия
Эйлер, Леонард — академик, величайший математик XVIII столетия; род. 15 апреля (нов. ст.) 1707 г. в Базеле; отец его, Павел Э., был пастором в селении Рихене (близ Базеля), где и протекли первые годы детства его сына. Будучи учеником знаменитого математика Якова… … Большая биографическая энциклопедия
Теорема о распределении простых чисел — Теорема о распределении простых чисел теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел (количество простых чисел на отрезке от 1 до n) … Википедия
Головинский, Илья Абрамович — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия
Илья Абрамович Головинский — Головинский Файл:Ilia Golovinsky.JPG Дата рождения: 30 января 1951 Место рождения: Ленинград Илья Абрамович Головинский (р. 30 января 1951, Ленинград) российский математик … Википедия
