Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел $\pi(n)~$ (количество простых чисел на отрезке от 1 до n) растёт с ростом n как $\frac{n}{\ln n}$, то есть:

$\frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1,$ когда $\quad n\to \infty.$

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен $\frac{1}{\ln n}$.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения $k$-го простого числа $p_k$: она утверждает, что

$p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty$

(здесь и далее запись $\ f\sim g$ означает, что $f/g \to 1$ когда аргумент функций стремится к бесконечности).

История

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»^[1]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил в 1796 году, что функция распределения простых чисел $\pi(x)~$ (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B},$

где $B \approx 1.08366.$ Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

$\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx$

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций $\pi(x)$ и $x / \ln(x)$, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышев доказывает^[2], что верхний M и нижний m пределы отношения

$\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad$

(1)

заключены в пределах $0.92129\le m\le M\le 1.10555$, а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) $\zeta$-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство Эрдеша—Сельберга.

Общий ход доказательства

Переформулировка в терминах пси-функции Чебышева

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышева, определяемой как

$\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p, \qquad \qquad (*)$

иными словами, пси-функция Чебышева это сумма функции Мангольдта (англ.):

$\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad \Lambda(n)= \begin{cases} \log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

$\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty.$

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка $[1,n]$, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы $\ln p$ примерно равны $\ln x$, и функция $\psi(x)$ асимптотически ведёт себя так же, как $\pi(x) \cdot \ln x$.

Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана

Как следует из тождества Эйлера,

$\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}},$

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

$\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.$

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции $a^s/s$ равен $2\pi i$ при $a>1$ и 0 при $0<a<1$. Поэтому, умножение правой и левой части на $\frac{1}{2\pi i} x^s/s$ и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) и интегрирование по вертикальной прямой по $ds$ оставляет в левой части в точности сумму $\Lambda(n)$ с $n\le x$. С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке $s=1$ — полюс первого порядка с вычетом, равным $(-1)$.

Строгая реализация этой программы позволяет получить^[3] явную формула Римана (англ.)^[4]:

$\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<Re(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)$

Суммирование тут ведётся по нулям $\rho~$ дзета-функции, лежащим в критической полосе $0<Re(s)<1~$, слагаемое $-\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}$ отвечает полюсу $\frac{x^s}{s}~$ в нуле, а слагаемое $-\log(1-x^{-2})/2~$ — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции $s=-2,-4,-6,\dots$.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение $\psi(x)\sim x\ ~$ (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем $x~$). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения $\psi(x)~$ от $x~$, и, соответственно, на отклонения $\pi(x)~$ от $x/\ln x~$.

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

$\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p$

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

$\ln = \Lambda * \mathbf{1},$

где $\ln$ и $\mathbf{1}$ — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести $\mathbf{1}$ в правую часть:

$\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**)$

где $\mu$ — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция $\psi~$. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме $\sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k),~$ где $L~$ — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать $L(n)~$ как

$L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид $\sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right)~$ для подходящим образом подобранной функции F (а именно, $F(x)=x-\gamma-1~$), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

$\Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k).~$

Поскольку $F(x)\sim x,$ остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид $o(x)~$. Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения $M(x)=o(x),~$ где $M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n)~$ — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции $1/n~$.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

$\mu'=-\mu*\Lambda,~$

где $f'(n)=f(n)\cdot \ln n~$ — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

$\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').~$

«Усредение» этого уравнения позволяет и то, что асимптотика суммы функции $\Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda~$ оценивается лучше асимптотики сумм $\Lambda~$, позволяет оценивать отношение $\frac{M(x)}{x}~$ через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку $M(x)=o(x)~$.

См. также

• Дзета-функция Римана
• Постулат Бертрана

Примечания

1. ↑ Дербишир, 2010, с. 178-179.
2. ↑ Н. И. Архиезер, «П. Л. Чебышев и его научное наследие».
3. ↑ http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf
4. ↑ Weisstein, Eric W. Explicit Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

Классические труды

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta(s)$ et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышев П. Л. Об определении числа простых чисел, меньших данной величины, 1848.
• Чебышев П. Л. О простых числах, 1850.
• Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Современная литература

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.