ФОРМАЛЬНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД

ФОРМАЛЬНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД

над кольцом Аот коммутирующих переменных T1, . . ., Т п - алгебраич. выражение вида


где Fk - форма от T1, . . ., Т п с коэффициентами из Астепени k. Минимальное значение k, для к-рого наз. порядком ряда F, а форма Fk наз. начальной формой ряда.
Если

и
- два Ф. с. р., то, по определению,


и

где


Относительно этих операций множество .[[T1, ..., Т п]]всех Ф. с. р. образует кольцо. Многочлен где Fk- форма степени k,
отождествляется с Ф. с. р. где Ck=Fk при и Ck =0 при k>n. Это определяет вложение i кольца многочленов А[ Т 1. .... Т п] в кольцо А[[Т 1,..., Tn]]. В кольцо А[[Т 1,..., Tn]] определена топология, для к-рой идеалы


образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, кольцо А[[Т 1...., Tn]]полно относительно этой топологии, и образ вложения i всюду плотен в А[[Т 1,..., Tn]].Относительно этой топологии Ф. с. p. . является пределом своих частичных сумм
Пусть А- коммутативное кольцо с единицей. Тогда таково же и кольцо A[[Т 1,..., Tn]].Если А-область целостности, то и A[[Т 1,..., Tn]]. область целостности. Ф. с. p. Fобратим в кольце А[[Т 1...., Tn]]тогда и только тогда, когда РД обратим в А. Если А - нётерово, то и A[[Т 1...., Tn]]также нётерово. Если А - локальное кольцо с максимальным идеалом m, TO A[[Т 1...., Tn]]-локальное кольцо с максимальным идеалом ( Т 1,..., Tn).
Если локальное кольцо Аотделимо и полно в адической топологии, то в кольце A[[Tlt..., Tn справедлива подготовительная теорема Вейерштрасса. Пусть F - Ф. с. р. такой, что для нек-рого kформа Fk содержит член где и пусть k- минимальный индекс с этим свойством. Тогда F=UP, где U- обратимый Ф. с. р. и Р- многочлен вида где коэффициенты а i принадлежат максимальному идеалу кольца А[[Т 1,..., Tn]]. Элементы Uи Роднозначно определены рядом F.
Кольцо Ф. с. р. над полем или дискретно нормированным кольцом факториально.
Рассматриваются также кольца Ф. с. р. от некоммутирующих переменных.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 2, пер. с англ., М., 1963.
Л. В. Кузьмин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ФОРМАЛЬНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД" в других словарях:

  • Формальный степенной ряд — Формальный степенной ряд  формальное алгебраическое выражение вида: в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу . В отличие от степенных рядов в анализе формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и соответственно не… …   Википедия

  • ЧЖЭНЯ КЛАСС — характеристический класс, определенный для комплексных векторных расслоений. Ч. к. комплексного векторного расслоения с базой Вобозначается и определен для всех натуральных индексов i. Полным Ч. к. наз. неоднородный характеристич. класс… …   Математическая энциклопедия

  • Производящая функция последовательности — У этого термина существуют и другие значения, см. Производящая функция. Производящая функция последовательности это формальный степенной ряд . Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической… …   Википедия

  • НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ — в алгебраической геометрии функция, задаваемая алгебраич. уравнением. Пусть многочлен от (напр., с комплексными коэффициентами). Тогда многообразие нулей этого многочлена можно рассматривать как график нек рого соответствия Это соответствие н… …   Математическая энциклопедия

  • ОПЕРАТОРЫ — в квантовой теории, понятие, широко используемое в матем. аппарате квант. механики и квант. теории поля. О. служат для сопоставления с определ. волновой функцией (или вектором состояния) y другой определ. ф ции (вектора) y . Соотношение между y и …   Физическая энциклопедия

  • АППЕЛЯ МНОГОЧЛЕНЫ — Аппеля полином ы, класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м. определяется формальным равенством в к ром формальный степенной ряд с… …   Математическая энциклопедия

  • КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ — комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… …   Математическая энциклопедия

  • ПОНТРЯГИНА КЛАСС — характеристический класс, определенный для действительных векторных расслоений; П. к. введены в 1947 Л. С. Понтрягиным [1]. Для векторного расслоения x с базой ВП. к. обозначаются символом и полагаются равными , где комилексификация расслоения x …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в к ром решения исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан нек рый класс дифференциальных уравнений, все решения к рых суть… …   Математическая энциклопедия

  • Производящая функция — Производящая функция: Производящая функция моментов  способ задания вероятностных распределений. Обычно используется для вычисления моментов в теории вероятностей. Производящая функция последовательности  формальный степенной ряд,… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»