АППЕЛЯ МНОГОЧЛЕНЫ

Аппеля полином ы, - класс многочленов над полем комплексных чисел, содержащий многие классич. системы многочленов. А. м. введены П. Аппелем [1]. Последовательность А. м. определяется формальным равенством

в к-ром - формальный степенной ряд с комплексными коэффициентами причем . В явном виде А. м. A_n(z).выражаются через числа следующим образом:

Условие равносильно тому, что степень многочлена равна .

Имеется другое, эквивалентное определение А. м. Пусть

- дифференциальный оператор, вообще говоря, бесконечного порядка, определенный над алгеброй Ркомплексных многочленов переменного Тогда

то есть представляет собой образ функции при отображении

Класс А. м. определяется как совокупность всевозможных систем многочленов с производящими функциями вида (1). Принадлежность системы многочленов (степени п).классу равносильна выполнению соотношений

Иногда при определении А. м. класса А ⁽¹⁾ пользуются соотношениями

к-рые, с точностью до нормировки, эквивалентны приведенным выше.

А. м. класса А ⁽¹⁾ используются при решении уравнений вида

формальное равенство при

позволяет записать решение (2) в виде

где - А. м. с производящей функцией В связи с этим особый интерес представляют разложения аналитич. функций в ряды по А. м. Кроме того, А. м. находят применение в различных задачах, относящихся к функциональным уравнениям, в том числе к дифференциальным уравнениям, отличным от (2), в вопросах интерполирования, теории приближения, в методах суммирования и др. (см., напр., [1] -[6]). С более общей позиции теория А. м. класса А ⁽¹⁾ (инек-рые приложения) изложена в [6].

А. м. класса А ⁽¹⁾ содержат в качестве частных случаев целый ряд классических последовательностей многочленов. Примерами, с точностью до нормировки, могут служить Бернулли многочлены

Эрмита многочлены

Лагерра многочлены

и т. д. Многочисленные примеры А. м. имеются в [2] и [3].

Существуют различные обобщения А. м., к-рые также носят назв. систем A.M. Сюда относятся А. м. с производящими функциями вида

а также А. м. с производящими функциями более общего характера:

(см., напр., [2] и [3]). Если - функция, обратная функции , то принадлежность системы многочленов к классу последовательностей А. м. с производящей функцией вида (3) равносильна выполнению соотношений

Имеется всего пять ортогональных с весом систем последовательностей А. м. на действительной оси, с производящими функциями вида (3); в том числе среди А. м. с производящими функциями вида (1) лишь одна система многочленов Эрмита является ортогональной с весом на действительной оси (см. [7]).

О разложениях в ряды по А. м. с производящими функциями вида (3) и (4), а также о связи этих А. м. с различными функциональными уравнениями см. [2], [7], [8].

Класс - целое, А. м. определяется следующим образом: это есть множество всех систем многочленов , для каждой из к-рых имеет место (формальное) представление

где - формальные степенные ряды, свободные члены к-рых таковы, что степень многочлена равна п. Принадлежность последовательности многочленов степени классу равносильна выполнению соотношений

Вопросы разложения аналитич. функций в ряды по А. м. класса исследованы в [9]. Они тесно примыкают к задаче о нахождении аналитич. решений функциональных уравнений вида

A.м. от двух переменных введены П. Аппелем [10]. Они определяются равенствами

в к-рых полагают для ; эти А. м. представляют собой аналог Якоби многочленов. А. м. ортогональны с весом

любому многочлену от двух переменных, степени, меньшей , по области Т, где Т - треугольник: однако они не образуют системы функций, ортогональных с весом в области Т(см., напр., [3]).

Лит.:[ll Appell P., "Ann. sci. Ecole norm, super.", 1880, v. 9, p. 119-44; [2] Воas R. P., Вuсk R. C., Polynomial expansions of analytic functions, В., 1958; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1-3, М., 1965-67; [41 Wооd В., "SIAM J. Appl. Math.", 1969, v. 17, № 4, p. 790-801; [5] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [6] Бур баки Н., Функции действительного переменного, пер. с франц., М., 1965; [7] Меiхnеr J., "J. London Math. Soc.", 1934, v. 9, pt 1, p. 6- 13; [8] Andеrsоn Сh. A., "J. Math. Analysis and Appl.", 1967, v. 19, № 3, p. 475-91; [9] Казьмин Ю. А., "Матем. заметки", 1969, т. 5, в. 5, с. 509-520; 1969, т. 6, в. 2, с. 161 - 72; [10] Appell P., "Arch. Math. Phys.", 1881, Bd 66, S. 238-45.

Ю. А. Казьмин.