ПОНТРЯГИНА КЛАСС

-характеристический класс, определенный для действительных векторных расслоений; П. к. введены в 1947 Л. С. Понтрягиным [1]. Для векторного расслоения x с базой ВП. к. обозначаются символом и полагаются равными , где - комилексификация расслоения x, a c_k - Чжэня классы. Полным П. к. наз. неоднородный характеристич. класс p = l+p₁+p₂+... Иначе говоря, П. к. определяются как классы когомологий , задаваемые равенством р _i=f*((-1)ⁱ c_2i), где - отображение, соответствующее комплексификации унирерсального расслоения, а - классы Чжэня.

Пусть - овеществление универсального расслоения над BU_n. Полный П. к. расслоения совпадает с , где x_l ,..., х _п - образующие By (см. Характеристический класс).

Частичное описание кольца когомологий Н*( ВО _п).может быть получено в терминах образующих By следующим образом. Отображение , соответствующее расслоению либо где q₁ - одномерное тривиальное расслоение, индуцирует гомоморфизм колец , при к-ром подкольцо кольца Н*( ВО _п), порождаемое

П. к. p₁, р ₂ ,..., р ^[n/2], отображается мономорфно на подкольцо кольца H*(BU_n), состоящее из всех четных симметрич. полиномов от образующих By. Четность понимается в том смысле, что каждая переменная х _i должна входить в полином в четной степени. Тем самым получается выражение любого элемента кольца (p₁,... ..., p_[n/2]) Н*( ВО _п).через образующие By, что важно для практич. вычислений с П. к. Характеристич. класс, определяемый четным симметрич. полиномом от образующих By, может быть выражен через П. к. следующим образом. Полином выражается через элементарные симметрич. функции переменных а затем вместо элементарных симметрич. функций подставляется П. к.

Если x, h - два действительных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий имеет порядок не больше двух; это связано с тем, что для первого класса Чжэня

Пусть нек-рое кольцо L, содержащее ¹/₂, рассматривается в качестве кольца коэффициентов и пусть р _i - П. к. со значениями в . В этом случае имеет место равенство

или

Кольцо Н**( ВО _п;L) мономорфно отображается в H**(BU[n/2];L), и образ этого отображения совпадает с подкольцом всех четных симметрич. рядов с образующими By в качестве переменных. При этом полный П. к. переходит в полином , а П. к.- в элементарные симметрич. функции от переменных Теорема:

Кольцо когомологий H*(BSO_n).содержит кроме П. к. также эйлеров класс. Теорема:

для пространства BS0_2k имеет место равенство р _k=е ².

Отображение g:BU[n/2]B0_n пропускается через Br[n/2]BSO_n. Индуцированное отображение H**(BSO_n)H**(BU)[n/2] переводит ев нуль при нечетном n и в при четном п.

Пусть - четный формальный степенной ряд над полем . Тогда ряд определяет нек-рый неоднородный элемент кольца , т. е. характеристич. класс. Допуская нек-рую вольность, можно записать

Характеристич. класс хстабилен (то есть =x(x), где q - тривиальное расслоение) тогда и только тогда, когда свободный член ряда f(t) равен единице. Если положить f(t)=t/th t, то построенный описанным способом характеристич. класс обозначается через Lи наз. L- классом Хирцебруха,

Стандартная процедура выражения ряда Пf(x_i) через элементарные симметрич. функции переменных ,..., приводит к представлению класса Lв виде ряда от П. к. Другой важный для приложений характеристич. класс получается, если положить

Класс, задаваемый четным симметрич. рядом

наз. -классом. Аналогично, А-классом наз. характеристич. класс, задаваемый рядом Пf(x_i).

где . Оба эти класса, как и L, могут быть

выражены через П. к.

Топологическая инвариантность. В 1965 С. П. Новиков [2] доказал, что П. к. с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают. До этой работы было известно, что рациональные П. к. кусочно линейно инвариантны, т. е. совпадают для двух кусочно линейных гомеоморфных многообразий. Более того, были определены (см. [4]) рациональные П. к. для кусочно линейных многообразий (возможно с краем). Был дан пример (см. [5]), показывающий, что целочисленные П. к. не являются топологич. инвариантами.

В 1969 было доказано (см. [7]), что слой Top/PL расслоения BPLВТор имеет гомотонич. тип пространства Эйленберга - Маклейна . Отсюда следует топологич. инвариантность рациональных П. к., а также вытекает опровержение основной гипотезы комбинаторной топологии (Hauptveramtung).

Обобщенные классы Понтрягина. Пусть h* - обобщенная теория когомологий, в к-рой определены классы Чжэня s_i. Если для одномерного комплексного векторного расслоения lвыполнено равенство , то П. к. со значениями в теории h* можно определить прежней формулой Р _i(x)=. Определенные таким образом классы будут обладать свойством , где Р=1+P₁+Р ₂+...- полный П. к., рассматриваемый в теории [1/2].

Однако во многих практически используемых обобщенных теориях (напр., в K-теории) приведенное равенство для s₁ не имеет места. В таких теориях нецелесообразно определять П. к. описанным способом, т. к. при таком определении не выполняется обычная формула для полного класса суммы двух расслоений, даже после включения ¹/₂ в коэффициенты. Можно определять обобщенные П. к. следующим образом. Пусть h* - мультипликативная теория когомологий, в к-рой универсальным образом задана ориентация расслоения , где x - произвольное я-мерное действительной . расслоение над В. Пусть - эйлеров класс расслоения , где - включение нулевого сечения. П. к. в теории h* наз. характеристич. классы Р _i, определенные для действительных векторных расслоений и удовлетворяющие следующим условиям.

1) , если i> 2 dim x;

2) , где q - тривиальное расслоение;

3) - элемент порядка степени двойки;

4) , где n =dim x.

Доказано существование и единственность характеристич. классов с перечисленными свойствами. П. к. в этом смысле приводят к понятию двузначной формальной группы над кольцом h*(pt), соответствующей теории h*.

Характеристич. классы p_i в K- теорииопределяются следующей формулой:

где s=t-t², здесь g_i- - Чжзня классы в -градуированной K-теории.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., "Матем. сб.", 1947, т. 21, с. 233-84; [2] Новиков С. П., "Докл. АН СССР", 1965, т. 163, с. 298-300; [3] Бухштабер В. М., "Матем. сб.", 1970, т. 83, с. 575-95; [4] Рохлин В. А., Шварц А. С., "Докл. АН СССР", 1957, т. 114, с. 490-93; [5] Милнор Д ж., "Математика", 1959, т. 3, № 4, с. 3-53; 1965, т. 9, № 4, с. 3-40; [6] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [7] Кirbу R., Siebenmann L., Foundational essays on topological manifolds, smoothings and triangulations, Princeton, 1977. А. Ф. Харшиладзе.