БОРЕЛЯ МЕРА

множеств- неотрицательная функция m подмножеств топологич. пространства X, обладающая следующими свойствами: 1) область ее определения есть -алгебра борелевских множеств из X, т. е. наименьший класс подмножеств из X, содержащий открытые множества и замкнутый относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе; 2) при то есть счетно аддитивна. Б. м. наз. регулярной, если

где принадлежит классу замкнутых подмножеств из X. Нередко изучение Б. м. связывают с изучением мер Бэра, к-рые отличаются от Б. м. лишь областью их определения: они определены на наименьшей -алгебре , относительно к-рой измеримы все непрерывные функции на X. Б. м. (соответственно мера Бэра ) наз. -гладкой, если для любой сети замкнутых множеств, удовлетворяющей условию (соответственно для любой сети множеств, являющихся нулями непрерывных функций, при условии, что Б. м. (соответственно мера Бэра v) наз. п л о тн о и, если , где -класс компактных подмножеств из X(соответственно Плотность и -гладкость являются ограничениями, обеспечивающими дополнительную гладкость мер, и часто выполняются в конкретных .ситуациях. При определенных условиях меры Бэра могут быть продолжены до Б. м. Напр., если Xвполне регулярно и хаусдорфово, то всякая -гладкая (плотная) конечная мера Бэра может быть продолжена до регулярной -гладкой (плотной) конечной Б. м. При изучении мер на локально компактных пространствах Б. м. (соответственно мерами Бэра) наз. иногда меры, определенные на -кольце множеств, порожденном компактными (соответственно компактными ) множествами, и конечные на компактных множествах. Мерой Бореля на прямой часто наз. меру, определенную на борелевских множествах и такую, что ее значение на произвольном отрезке равно длине этого отрезка.

Лит.: [1] Варадарайн В. С., "Матем. сб.", 1961, т. 55, № 1, с. 35-100; [2] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.