РЕКУРРЕНТНАЯ ТОЧКА

д и н а м и ч е с к о й с и с т е м ы - точка хдинамич. системы f^t (или, в иных обозначениях, f(t,^.), см. [2]), заданной на метрич. пространстве S, удовлетворяющая условию: для всякого e>0 найдется T>0 такое, что все точки траектории f^tx содержатся в e-окрестности всякой дуги временной длины Тэтой траектории (иными словами, при любом e-окрестность множества

содержит всю траекторию f^tx). В этом случае f^tx наз. р е к у р р е н т н о й т р а е к т о р и е й.

Т е о р е м а Б и р к г о ф а: если пространство Sполное (напр., , то 1) для того чтобы точка была рекуррентной, необходимо и достаточно, чтобы замыкание ее траектории было минимальным множеством;2) для того чтобы существовала Р. т., достаточно, чтобы существовала точка, устойчивая по Лагранжу (см. Устойчивость по Лагранжу).

Р. т. устойчива по Лагранжу и по Пуассону (см. Устойчивость по Пуассону). Почти периодическая (в частности, неподвижная или периодическая) точка динамич. системы рекуррентна. Вообще, всякая точка строго эргодической динамич. системы рекуррентна, но сужение динамич. системы на замыкание рекуррентной траектории (минимальное множество) может не быть строго эргодической динамич. системой (п р и м е р М а р к о в а, см. [2]).

Лит.:[1] Б и р к г о ф Д. Д., Динамические системы, пер. с англ., М., 1941; [2] Н е м ы ц к и и В. В., С т е п а н о в В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949. В. М. Миллионщиков.

PEKVPPEHTHAЯ ФОРМУЛА - то же, что рекуррентное соотношение.