ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

траектории {ftx} динамической системы ft- множество А х всех a-предельных точек (a-предельное множество) или множество Wx всех сопредельных точек (w-предельное множество) этой траектории (см. Предельная, точка траектории). Для траектории {ft х} системы (или, иначе, f(t, х), см. [1]) a-П. м. (соответственно w-П. м.) - то же, что w-П. м. (соответственно a-П. м.) траектории {f-t х} динамич. системы f-t (системы с обращением времени). Поэтому свойства a-П. м. аналогичны свойствам w-П. м.

Множество Wx - замкнутое инвариантное множество. Если , то траектория {ft х} наз. уходящей в положительном направлении; если , то траектория {ft х} наз. уходящей в отрицательном направлении; если , то траектория наз. уходящей. Если , то точка хназ. положительно устойчивой по Пуассону; если , то точка хназ. отрицательно устойчивой по Пуассону; если , то точка хназ. устойчивой по Пуассону. Если и , то точка хназ. положительно асимптотической; если и , то точка хназ. отрицательно асимптотической.

Если точка хположительно устойчива по Лагранжу (см. Устойчивость по Лагранжу), то Wx- непустое связное множество,


(где d(z, Y).- расстояние от точки z до множества Y) и в Wx найдется рекуррентная точка (траектория). Если х - неподвижная точка, то Wx={x}. Если х - периодич. точка, то


где Г - период. Если точка хположительно устойчива по Пуассону, но не неподвижная и не периодическая, а метрич. пространство, на к-ром задана рассматриваемая динамич. система, полно, то в Wx всюду плотны точки, не принадлежащие траектории {ft х}. Если динамич. система задана на плоскости автономной системой дифференциальных уравнений


(гладким векторным полем f(x)), точка хположительно устойчива по Лагранжу, но не периодическая и f(х).не обращается в нуль на множестве Wx (т. е. множество Wx не содержит неподвижных точек), то Wx- цикл, т. е. замкнутая кривая (траектория периодич. точки), а траектория {ftx} при спиралевидно наматывается на этот цикл. У динамич. систем, заданных на , или на нек-рых двумерных поверхностях, напр, на торе, w-П. м. могут быть устроены иначе. Напр., у иррациональной обмотки тора (система

- циклич. координаты на торе Т 2,m, - иррациональное число) множество Wx для всякой точки х=(j, y) совпадает со всем тором.

Лит.:[1]Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; [2] Понтрягив Л. С., Овыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

В. М. Миллионщиков.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО" в других словарях:

  • ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — C(f, z0; S).функции f(x): G Q, определенной в области со значениями на сфере Римана W, в точке по множеству , множество значений , для к рых существуют такие последовательности точек , n=1, 2, . . .; , что Каждое значение …   Математическая энциклопедия

  • Предельное исчисление — Предел последовательности Основная статья: Предел последовательности Число a называется пределом последовательности x1,x2,...,xn,... если для любого ε > 0 существует N, такое что n>N, | xn − a | < ε. Предел последовательности… …   Википедия

  • КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений. Основы К. т. д. у. были заложены в конце 19 в. А. Пуанкаре (см. [1], [2]) и А. М. Ляпуновым (см. [3], [4]). А. Пуанкаре… …   Математическая энциклопедия

  • Функция Минковского — Функция Минковского. Функция «вопросительный знак» Минковского  построенная Германом Минковским монотонная с …   Википедия

  • ИЗОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОГРУЖЕНИЕ — погружение k мерного метрич. многообразия М к в n мерное риманово пространство V, в виде k мерной поверхности Ф, при к ром расстояние между любыми двумя точками на М k совпадает с расстоянием между их образами, измеренным по поверхности Ф в… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТОЧКА — динамической системы точка траектории периодич. движения динамич. системы ft ( или ), заданной на пространстве S, т. е. такая точка , что найдется число T>0, для к рого fTx=x, но при . Это число Тназ. периодом точки x (иногда периодами наз.… …   Математическая энциклопедия

  • СУЩЕСТВЕННО ОСОБАЯ ТОЧКА — изолированная особая точка а однозначного характера аналитич. ции f(z) комплексного переменного z, для к рой не существует никакого, конечного или бесконечного, предела В достаточно малой проколотой окрестности С. о. т. или в случае функция… …   Математическая энциклопедия

  • ПИКАРА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о поведении аналитической функции f(z) комплексного переменного zв окрестности существенно особой точки а название результата классич. теории функций, явившегося отправным пунктом многочисленных глубоких исследований и состоящего из двух …   Математическая энциклопедия

  • ЕДИНСТВЕННОСТИ СВОЙСТВА — аналитических функций свойства аналитич. функций, состоящие в том, что они вполне определяются своими значениями на нек рых подмножествах точек их области определения или границы этой области, в связи с чем различают внутренние Е. с. и граничные… …   Математическая энциклопедия

  • КЛЕЙНОВА ГРУППА — дискретная подгруппа Г группы всех дробно линейных отображений расширенной комплексной плоскости С, являющаяся собственно разрывной. Это означает, что множество L(Г) точек накопления орбит {y(z0)}, . для всех точек называемое предельным… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»