РЕЗУЛЬТАНТ

м н о г о ч л е н о в f(x)и g(x)- элемент поля Q, определяемый формулой

(1)

где Q - поле разложения многочлена - корни многочленов

и

соответственно. Если , то многочлены тогда и только тогда имеют хотя бы один общий корень, когда их Р. равен нулю. Имеет место равенство

Р. можно записать в любом из следующих видов:

(2)

(3)

Выражения (1), (2) и (3) неудобны для вычисления P., так как они содержат корни многочленов. Через коэффициенты многочленов Р. можно выразить в виде следующего определителя порядка n+s:

(4)

Этот определитель в первых s строках содержит коэффициенты многочлена f(х), в последних пстроках - коэффициенты многочлена g(x), а на свободных местах - нули.

Р. многочленов f(x)и g(x)с числовыми коэффициентами можно представить в виде определителя порядка п(или s). Для этого находят остаток от деления на f(x), k =0,1, 2,. . ., n- 1. Пусть это будет

Тогда

Дискриминант D(f)многочлена

выражается через Р. многочлена f(x)и его производной f' (х)следующим образом:

П р и м е н е н и е к р е ш е н и ю с и с т е м у р а в н е н и й. Пусть дана система двух алгебраич. уравнений с коэффициентами из поля Р:

(5)

Многочлены f и gзаписывают по степеням х:

и по формуле (4) вычисляют Р. этих многочленов как многочленов от х. Получается многочлен, зависящий только от у:

Говорят, что многочлен F(у)получен путем исключения хиз многочленов f ( х, у )и g( х, у). Если х=a, y= b- решение системы (5), то F(b)=0, и обратно, если F(b)=0, то или многочлены f(x,b), g(x,b) имеют общий корень (к-рый надо искать как корень их наибольшего общего делителя), или . Тем самым решение системы (5) сводится к вычислению корней многочлена F(у)и общих корней многочленов f ( х,b), g(x,b) с одним неизвестным.

Аналогично можно решать и системы уравнений с любым числом неизвестных, но эта задача приводит к весьма громоздким вычислениям (см. также Исключения теория).

Лит.:[1] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [2] О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, 4 изд., М.- Л., 1949; [3] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [4] X о д ж В., П и д о Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1 - 3, М., 1954-55.

И. В. Проскуряков.