ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА

ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА

- метрика r( х, у).в подмножестве Rпроективного пространства Р n такая, что кратчайшая относительно этой метрики является частью или всей проективной прямой. При этом полагают, что Rне принадлежит ни одной гиперплоскости и что 1) для любых трех неколлинеарных точек х, у, z неравенство треугольника выполняется в строгом смысле

r(x, y) +r(y, z) > r(x, z);

2) если х, у - различные точки из R, то пересечение l( х, у).прямой l, проходящей через хи у, с R есть либо вся l(большой круг), либо получается из lудалением нек-poro отрезка (могущего сводиться и к одной точке) (метрическая прямая).

Множества R, наделенные П. м., наз. проективно метрическими пространствами (п. м. п.).

В одном и том же п. м. ц. не могут одновременно существовать оба типа линий: либо все они - метрич. прямые (т. е. изометричны отрезку из ), либо же все они - большие круги одинаковой длины (теорема Гамеля). Пространства первого типа наз. открытыми (они совпадают с подмножествами аффинного пространства, то есть с Р n, из к-рого удалена некрая гиперплоскость); геометрия открытых п. м. п. наз. также Гильберта геометрией. Пространства второго типа наз. замкнутыми (они совпадают со всем Р n).

Проблема определения всех П. м.- это так наз. 4-я проблема Гильберта (см. [2]), полное ее решение дано А. В. Погореловым (1974).

С П. м. связано, как частный ее случай, т. н. проективное мероопределение- введение в подмножества проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при к-рой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому и эллиптическому пространствам. Так, геометрия открытых п. м. п., подлежащее множество к-рых совпадает со всем аффинным пространством, наз. геометрией Минковского. Евклидова геометрия - это одновременно геометрия Гильберта и геометрия Минковского.

Гиперболическая геометрия - геометрия Гильберта, в к-рой существуют отражения от всех прямых. Для этого необходимо и достаточно, чтобы R было внутренностью эллипсоида.

Эллиптическая геометрия (или Римана геометрия) - геометрия п. м. п. второго типа.

Лит.:[1] Буземан Г., Келли П. Д да.. Проективная геометрия и проективные метрики, пер. с англ., М., 1957; 12J Проблемы Гильберта, пep. с нем., М., 1969.

М. И. Войцеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА" в других словарях:

  • Проективная метрика —         способ измерения длин и углов средствами проективной геометрии (См. Проективная геометрия). Он состоит в закреплении некоторой фигуры в качестве абсолюта, определяющего данную метрическую геометрию, и выделении из группы всех проективных… …   Большая советская энциклопедия

  • Метрика (матем. термин) — Метрика, математический термин, обозначающий правило определения того или иного расстояния между любыми двумя точками (элементами) данного множества А. При этом расстоянием r(а, b) между точками а и b множества А называется вещественная числовая… …   Большая советская энциклопедия

  • Метрика — I Метрика (греч. metrike, от métron мера, размер)         1) совокупность законов. строения стиха; то же, что Стихосложение. 2) Наука о законах строения стиха; то же, что стиховедение. Преимущественно термин «М.» применяется к ранним эпохам… …   Большая советская энциклопедия

  • КОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, получаемое из евклидова применением принципа двойственности проективного пространства такой же размерности. Обозначается R*n, где п размерность пространства. К. п. R*n является пространством с проективной метрикой, к рая задается в… …   Математическая энциклопедия

  • КОПСЕВДОГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО — пространство, двойственное псевдогалилееву пространству. Оно является частным случаем полугиперболического пространства. Лит.:[1] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров. КОПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО… …   Математическая энциклопедия

  • КВАЗИГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — проективное n пространство, в к ром метрика определяется абсолютом, заданным совокупностью абсолютного конуса Q0 индекса kс (n т 1) вершиной (абсолютная плоскость Т а )и (n m 2) квадрикой (абсолютная квадрика Q1) индекса lна этой (n m 1)… …   Математическая энциклопедия

  • Проективное преобразование —         взаимно однозначное отображение проективной плоскости (См. Проективная плоскость) или проективного пространства (См. Проективное пространство) в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, основанная на тех же основных посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных (см. Пятый постулат). В евклидовой геометрии согласно этой аксиоме на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А А, проходит… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — проективное n пространство, в к ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности действительного конуса 2 го порядка Q0 индекса l0 с( п т 0 1) плоской вершиной Т 0, ( п т 0 2) действительного конуса Q1 индекса l1 с ( п т 1… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — проективное n пространство, в к ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности мнимого конуса 2 го порядка Q0 с (n m0 1 ) плоской вершиной Т а,( п т 0 2) мнимого конуса Ql с (n т 1 1) плоской вершиной Т 1 в (n m0 1 )… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»